网格是计算机世界中表示三维模型的一种简单有效的方式,在计算机图形学领域以及工业界应用广泛。在几何处理、物理仿真等领域,网格单元质量的高低和网格结构的好坏直接影响算法的效率和精度,而动画制作等领域对网格单元形状和排布往往有着苛刻的要求。与三角形网格和四面体网格相比,高质量的结构化网格,即半规整的四边形网格和六面体网格,在三维模型表达和物理仿真上有显著的优势:更少的网格单元和更高的计算精度。重网格化技术的主要目的就是将低质量且不满足需求的网格转化为高质量且满足需求的网格,在工业界这类技术有着广泛的应用和深远的影响。重网格化关注的核心要点是网格单元质量的可控性以及算法的鲁棒性。重网格化的难点在于如何鲁棒高效地控制网格的拓扑结构,使其满足对于网格单元质量的可控性。基于计算几何的重网格化方法着眼于局部的拓扑修改和网格单元的局部拓扑操作,缺乏全局控制,不易得到纯四边形和六面体网格,且很难控制单元形状和其质量,可控性较差。基于微分几何的重网格化方法对于拓扑结构有一定的全局控制,但在复杂的边界和特征对齐约束下,尤其对于三维的体网格,得到的全局参数化极易存在全局矛盾,即不满足无翻且无退化条件,导致无法生成合理的四边形和六面体网格,鲁棒性差。总而言之,现有方法在网格单元质量的可控性和算法的鲁棒性上都有不足之处。针对网格的全局拓扑结构受到模型的几何边界、整体拓扑结构和度量场的影响,本文以微分几何作为核心工具,基于Morse理论及Morse-Smale复形、流形上向量场的协变微分及其平行传输、三维流形的上同调、黎曼度量及其联络,并通过严格的数学理论分析,提出了一系列具有坚实数学理论依据的解决方法。与之前的基于微分几何的方法相比,本文的方法为重网格化提供了更强的全局拓扑控制,提高了网格单元质量的可控性和算法的鲁棒性。本文的主要贡献在于:·提出了一种任意二维标架场导引的融合了参数化和Morse函数的周期四维向量场生成方法,以及一种结合了参数化和Morse-Smale复形的四边形网格抽取方法,即参数化和Morse-Smale复形相融法。该方法同时具备了参数化的高效性和Morse-Smale复形的理论保证。以任意二维标架场和特征线作为输入,可控性高,通过融合了参数化和Morse-Smale复形的周期四维向量,优化得到了一种自动插入所需奇异点并满足Holonomy条件的周期四维向量场,并基于该场抽取得到与输入标架场相匹配、与输入特征线严格对齐且无退化单元的纯四边形网格。由于不需要全局足够密的网格作为输入,该方法比经典的Morse-Smale复形方法效率高。由于融合了Morse-Smale复形,能自动插入奇异点,该方法比之前的参数化方法鲁棒可靠。·提出了一种内部无奇异结构三维正交标架场生成方法,以及在该标架场导引下的闭形式多立方体的生成方法,即广义多立方体,并用于高质量纯六面体网格的生成。基于多立方体的方法是目前最鲁棒的六面体化方法,得到的六面体网格没有内部奇异线,从而避免了参数化方法所需的控制全局奇异结构得到合理六面体网格的困难。而广义多立方体结构对应了内部无奇异结构的全集,将避免全局退化这一优势发挥到了极致。基于上同调理论,考虑输入模型整体拓扑带来的约束,将多立方体方法对应的梯度场从恰当形式推广到闭形式,即局部处处可积,成功地拓展了多立方体所能表示的六面体网格的空间,并能应用于任意高亏格模型和多边界模型。由于以标架场作为导引场,该方法还提供了更好的初始表面轴向对齐和特征线对齐。·为了进一步提高三维重网格化的可控性,基于三维黎曼度量和三维联络,通过分析标架场的局部可积性,开创性地提出了一种任意三维标架场的生成方法,为三维可控重网格化提供了重要的工具。该方法从度量场的角度控制了重网格化结果的全局拓扑结构。任意的三维标架场可分解为对称的黎曼度量场和该场下的正交标架场,以三维联络作为桥梁将黎曼度量场和正交标架场相关联,得到正交标架场在该度量下的协变微分,并用于正交标架场光滑性的定义。该方法将任意三维标架场生成分为两步:度量场优化以及正交标架场优化。首先基于一些稀疏的约束生成黎曼度量场,从而获得对应的三维联络。然后利用该联络和平行传输得到正交标架场的光滑性表达,用于该度量下正交标架场的生成。通过合并两个场得到最终的标架场。该方法将用户可能的多种标架控制约束通过内积和平行两种原理归结为三类基本约束,分别施加到了第一和第二步中,从而使标架场的生成具有可定制性。虽然本文主要围绕标架场提出了一系列关于重网格化的方法,但这些方法在数学上的理论分析,对于其它与参数化相关的研究也有借鉴意义。