【摘 要】
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图谱理论的内容在理论化学特别是在Huckel分子轨道模型的化合物反应性、稳定性和存在性等化学性质的研究中有重要的应用.基于此应用,图谱理论得到了许多学者的广泛研究.图的邻接矩阵的秩等拓扑指标既是图的不变量也是重要的谱参数,对它们的研究是图谱理论中的热门课题之一.图秩与其他拓扑指标的研究方法可以相互渗透,本文研究了特定图类的邻接矩阵的秩以及与其密切相关的一些拓扑指标.作为图的一种不变量,图的连通性不
【基金项目】
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国家自然科学基金11971054和11731002；
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图谱理论的内容在理论化学特别是在Huckel分子轨道模型的化合物反应性、稳定性和存在性等化学性质的研究中有重要的应用.基于此应用,图谱理论得到了许多学者的广泛研究.图的邻接矩阵的秩等拓扑指标既是图的不变量也是重要的谱参数,对它们的研究是图谱理论中的热门课题之一.图秩与其他拓扑指标的研究方法可以相互渗透,本文研究了特定图类的邻接矩阵的秩以及与其密切相关的一些拓扑指标.作为图的一种不变量,图的连通性不仅与图的拓扑指标的研究内容相互交叉,与匹配数等许多图参数以及图谱理论也密切相关.本文研究主要集中在特定图类的邻接矩阵的秩与匹配数,独立数等图参数及一些拓扑指标的关系,并得到了一些秩取得上下界的极图的充要条件.另外对一些图类的边-Szeged指标以及正则图的强Menger连通性给出了刻画.本文结构如下:第一章是绪论.首先简单介绍了课题的研究背景,然后介绍了相关的研究现状,最后给出了本文的主要结论.第二章是预备知识.介绍了本文里用到的概念和记号.第三章首先借助于匹配数研究了符号图秩的上下界.证明了 2m（G）-2c（G）≤ r（G,σ）≤2m（G）+c（G）,其中 r（G,σ）是符号图（G,σ）的邻接矩阵的秩,m（G）和c（G）分别是符号图（G,σ）的基图G的匹配数和圈秩.刻画了取得上界和下界的极图的性质.进一步用匹配数给出了混合单圈图的正负惯性指数的精确值和任意混合图的正负惯性指数的界.第四章分别借助于图的匹配数和独立数给出了复单位增益图秩的上下界.证明了 2m（G）-2c（G）≤ r（G,φ）≤2m（G）+c（G）和 2|V（G）|-2c（G）≤ r（G,φ）+2α（G）≤2|V（G）|,其中r（G,φ）和α（G）分别是复单位增益图（G,φ）的邻接矩阵的秩和复单位增益图（G,φ）的基图G的独立数.另外,分别对取得上界和下界的极图的性质进行了刻画.本章结果推广了文献中已有的无向图、混合图、定向图和符号图相应的结果.第五章讨论了有n个点和k个圈的仙人掌图的边-Szeged指标和边-点-Szeged指标的下界,并刻画了取得下界的极图的性质.进一步得到了有完美匹配的单圈图的边-Szeged指标的最小值.第六章给出并证明了正则图的r阶F-强Menger边和点连通的充分条件,这些结论推广了已有的r=2的相应结果.作为推论,得到了很多网络的r阶F-强Menger连通性.第七章是结语与展望,包括本文的主要内容以及可以进一步研究的问题.
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