分数阶微积分是一个有着300年历史的数学问题.尽管它有着如此长久的研究历史,但在相当长的时间内,其研究主要集中于数学的纯理论性领域内进行.然而最近十多年,随着分数阶微积分应用领域的不断扩展,比如其在刻画具有记忆和遗传性质的各种物质、流变学、材料和力学系统、信号处理和系统辨识、ANN(神经网络)、分形和混沌等领域的应用,分数阶微积分方程应用的研究变得越来越活跃了.本文研究分数阶微分方程在传染病模型和混沌系统领域方面的应用.根据传染病病毒传播过程具有记忆性以及分数阶微积分具有刻画物质记忆和遗传性质的特征,我们建立分数阶的HIV(艾滋病病毒)微分方程模型来研究HIV感染过程的动态性质.而对于混沌,这几年以来,分数阶的混沌、超混沌系统的研究很活跃,这里研究一个新的分数阶超混沌系统的同步控制和一般分数阶混沌系统的轨道控制问题.本文共有四章,主体可分为二部分,其中第一部分(即第二章)研究HIV感染CD4~+T细胞群分数阶微分方程模型正解的存在唯一性及其动态性质.第三章为文章的第二部分,研究分数阶混沌系统的同步控制及轨道控制问题.第二章,研究如下分数阶HIV感染CD4~+T细胞群的微分方程模型:其中:0<γ≤1,D_*~γ表示Caputo意义下的分数阶导数.根据有关分数阶微分方程解的全局存在性理论以及分数阶函数的单调性质证明了上述模型正解存在且唯一;接着应用分数阶微分方程的Routh-Hurwitz条件来讨论了模型平衡点的局部稳定性问题,给出了平衡点局部渐近稳定的充分条件.数值模拟说明了模型平衡点局部渐近稳定性结论的正确性以及治愈项ρI引入的有效性.第三章,首先研究如下四维的分数阶Chen-Lee超混沌系统:其中:0＜q＜1.数值仿真说明了该分数阶Chen-Lee系统存在超混沌吸引子且要比其对应的整数阶Chen-Lee超混沌系统的超混沌吸引子的结构要复杂得多;接着依据分数阶微积分的稳定性理论,用自适应反馈法和Laplace变换理论两种方法实现了上述超混沌Chen-Lee系统的同步控制,数值仿真说明了这两种同步控制法的有效性.其次分析了如下分数阶混沌系统的轨道控制问题这里A是一个n×n阶的常数矩阵,而非线性项g(t,x(t))满足g(t,0)≡0.应用分数阶微积分的有关性质和理论分析得出了结论:如果在系统中添加一个适当的线性的状态反馈控制器u(t)=Kx(t),那么就可以把系统的其它轨道x(t)控制进入到目标轨道x=0.