在交通、计算机或通讯等网络的设计与维护过程中，网络的稳定性(抗毁性)是一项重要的性能指标。网络设计的基本思想之一就是使其在受到外部攻击时不易被破坏，如果被破坏也能够容易得到修复。我们通常用无向连通图表示网络，其中点代表网络中的对象，边代表它们之间具有的特定关系，这样就可以运用图论知识研究网络系统。人们提出了许多参数衡量网络的稳定性，早期的研究主要是围绕图的连通度和边连通度展开的，但这两个参数存在着不足，因为它们没有涉及到去掉点或边后网络图遗留下来的分支。为了克服这个不足，人们相继引入了许多新的参数，如坚韧度、离散数、完整度和韧性度等。这些参数不仅考虑了网络破坏的难易程度，而且还考虑了网络遭受的破坏程度，相对图的(边)连通度而言，是一些较为合理地刻画网络稳定性的参数。 1990年Cozzens等人研究了间谍网的网络模型，即用图的顶点代表间谍，图的边代表两个间谍之间的直接联络。这种网络模型的特点是，若一个间谍背叛或被俘获，那么与该间谍直接联络的所有间谍都将不再被相信，从而失去作用。显然已有的连通性参数无法衡量此类网络的稳定性，因此该图的邻域连通度、边邻域连通度、邻域完整度、边邻域完整度、邻域离散数和边邻域离散数便应运而生，但这些参数衡量某些网络的稳定性时还存在着缺陷。 本文主要内容为： (1)介绍了以上邻域连通性参数的研究背景和意义，并对各参数做了比较归纳和系统分析。(2)介绍、总结和比较以上邻域连通性参数的基础上提出了一个新的邻域参数——邻域破裂度，着重研究了邻域情况下图的稳定性。给出了几类基本图的邻域破裂度，也给出了联图的邻域破裂度，讨论了邻域破裂度的上界和下界，还讨论了邻域破裂度与其它参数的关系。(3)本文同时定义了边邻域破裂度，给出一些基本图的边邻域破裂度，并得出一些相关的结论。(4)本文还介绍了一个相关的参数——图中度平方和的界，给出了相对较大新的下界，同时给出了利用图中度平方和的界精确确定一个图及其补图中三角形个数的简单应用及相关的一些结论。