超椭圆曲线存在一个由其到P1的二重覆盖映射的代数曲线,具有一些特殊的算术和几何性质,其中某些性质和椭圆曲线的类似。但是由于亏格的原因不再具有Mordell-Weil群结构,也有很多性质和椭圆曲线差别较大。所以研究其算术和几何性质就显得很重要。本文整理了超椭圆曲线的基本性质,重点讨论了具有有理Weierstrass点的超椭圆曲线的相关内容。我们首先仿造[Chap.4,[1]]中的方法,构造了类似于椭圆曲面的超椭圆曲面的。并且证明了如果作为一般纤维的函数域上的超椭圆曲线上存在Weierstrass点,除了有限个点以外的所有特殊纤维都会具有从这个点继承而来的Weierstrass点。这样我们就可以将几乎所有不涉及Mordell-Weil群结构的椭圆曲面的性质直接推广到超椭圆曲面上来。椭圆曲线上的Szpiro猜想是丢番图逼近理论中很重要的一个猜想,该猜想和著名的ABC猜想等价。本文沿用[Sec.4,[2]]中的结论和方法,在承认ABC猜想的情况下,在一定的条件下将[Sec.4,[2]]中在超椭圆曲线上的Szpiro猜想推广到了更一般的情况下。我们采用了显式的ABC猜想的表达形式,这样可以看出ABC猜想中的控制常数是怎么影响结论的。