【摘 要】
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非线性偏微分方程通常源于自然科学和工程领域,有着广泛的背景,无论在理论上还是在实践应用中,都有重大的作用和价值.因为它能很好地解释自然界的一些重要现象,有效地解决非线性问题,所以大量的科研工作者们一直都在广泛关注着国内外研究动态.Kirchhoff方程作为非线性偏微分方程中一类最基本也是最重要的非线性方程,它的非平凡解和基态解一直以来都是学者们比较感兴趣的研究课题.本文利用对数型Sobolev不等
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非线性偏微分方程通常源于自然科学和工程领域,有着广泛的背景,无论在理论上还是在实践应用中,都有重大的作用和价值.因为它能很好地解释自然界的一些重要现象,有效地解决非线性问题,所以大量的科研工作者们一直都在广泛关注着国内外研究动态.Kirchhoff方程作为非线性偏微分方程中一类最基本也是最重要的非线性方程,它的非平凡解和基态解一直以来都是学者们比较感兴趣的研究课题.本文利用对数型Sobolev不等式,山路定理和单调性技巧等方法探讨了 Kirchhoff问题解的情况.本文分为两章.第一章,绪论.第二章,本章首先证明下面带幂函数非线性项Kirchhoff问题非平凡解的存在性其中Ω(?)R3是一个带有光滑边界的有界区域,a,b>0,p ∈(4,6),V可变号.假设(V1)V ∈ L3/2(Ω),并且V0=infx∈Ω V(x)>-∞;(V2)|V-|3/2
0.假设势函数V和非线性项f满足如下条件:(V3)V-∈ L3/2(Ω);(f1)f∈ × R)且存在C>0,q ∈(2,2*),使得|f(x,t)|≤C(1+|tq-),(x,t)∈ Ω ×R;(f2)lim supt→0 f(x,t=f0对x∈ 一致成立;(f3)存在β>4,R>0,使得0<βF(x,t)≤tf(x,t)≤x ∈ Ω|t|≥R,其中F(x,t)=∫0t(x,s)ds,(x,t)∈ Ω × R.注意到条件(V3)虽然比条件(V1)和(V2)都弱但是我们仍有下面的结论.定理2.1.3假设(V3)和(f1)-(f3)均成立,则问题(0.2)有一个基态解.
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