保险作为社会发展进步的重要一环,在保障社会稳定和促进经济持续平稳发展中发挥了巨大的作用。保险公司通过对各类险种保费定价的研究,不仅提升了其与市场上同行的竞争力,同时也为整个金融市场的稳定运行提供了保障。保险体现出的是一种风险分担,即一份风险在多方之间进行分散负担进而减小风险的方法。从数学的角度上来讲,保险的风险分担可以理解为保险人和被保险人之间为实现双方帕累托最优而设计的保险合同。以机动车辆保险为例,它作为各大保险公司经营的主要业务,却始终面临赔付率高,经营成本上升,盈利不足等一系列问题。随着保险费率市场化改革的加速推进,机动车保费总量规模必将呈现下降趋势,传统依赖降低保费而获取市场份额的经营方式愈加难以生存,在市场竞争激烈的大背景下,保险公司如何尽快走出传统的经营模式,科学合理的制定保费而使保险人和被保险人二者同时达到效用最优势必成为一个重要问题。现如今的机动车市场,绝大多数保险公司采用的为绝对免赔额制度max E{π-I(x)-C0[I(x)]}s.t.E{u[w0-π-x+I(x)]}>E[u(w0-x)].并在补偿函数I(x)服从正态分布的条件下进行最优保费定价的讨论。但是这里我们为了突显补偿函数可能具有的偏峰性,对I(x)服从的分布进行变化,即将期望效用理论下的补偿金额函数I(x)由传统的正态分布改为服从Gamma(α,β)分布的条件,则I(x)的概率密度函数为最终得到关于保费π和免赔额d的方程根据结果不难发现,保险公司的绝对免赔额制度固然可以大幅降低小额理赔次数,减少理赔费用的支出,但却为被保险人的事后道德风险提供了动机。由于保险人应承担的赔偿和被保险人应承担的剩余损失在保险的承保范围内都没有增加,因此被保险人完全可以隐瞒或夸大其真实损失,造成了保险的上报赔付均为高额赔付,大大增加了保险公司的赔付成本。此外,对于保险公司所应用的期望效用理论模型的保费定价方法,其所赋予的权重函数过于线性单调,导致像阿莱悖论等很多实际金融保险现象无法得到合理解释,这些并不利于保险公司最优保费的计算和有效经营。Bernard,He,Yan以及Xu等人研究了一种最优化的保费合同设计问题,其中个体的偏好是等级依赖相关效用RDU类型,展示出了一个含有最优免赔额的保险合同。但针对保险公司的运营成本并没有给予细致讨论,我们在此基础上进行了修改补充,并在文章结尾给出了安全附加系数下补偿函数I(x)与保费π的关系。本文对于最优化保险合同的制定,首先考虑了在期望效用理论EU下最优免赔额的问题,在以往EU理论下,将补偿金额函数的概率密度改为服从Gamma(α,β)分布,并根据所得结果给出保险双方的优化建议,其次,基于Bernard,He,Yan以及Xu等人的等级依赖效用理论进行补充,增加C0[I(x)]表示保险公司对于理赔额I(x)所承担的理赔成本,(该成本由固定成本C0和可变成本组成δI(x))具体表示形式如下为此,我们将最优保费定价问题变为如下等级依赖效用理论下的描述max Vrdu(W0-π-x+I(x))给出如下定义Vrdu(W)=U(w)d(T°P):=R+u(x)d[-T(1-Fw(x))].对于EU(期望效用)理论而言,权重函数T(x)三x,则Vrdu(W)=R+u(x)d[Fw(x)-1]=R+u(x)dFw(x)=E[u(w)].这里,仅仅假设T是可微的,则个人偏好赋予成等级依赖效用RDU类型,是为了使保险人的赔偿职能和被保险人的保留职能在保险范围内增加。为了避免被保险人可能的道德风险,我们通过强加道德约束,使保险双方同时达到帕累托最优,即在某种既定的条件下,任何的改变都不能使至少一个人的情况变坏,达到这样的资源配置状态,进而解决这些问题。然而,在将等级依赖效用下的保险模型进行变形的过程中,从优化的角度来看,我们遇到了很大问题,即存在通用加权函数T(x)的情况下,即使u(x)是凹的,RDU偏好也不在为凹,为此,我们参考Xu等人的方法,利用分位数公式化和变化微积分的方法来解决模型的优化问题,其关键思想是将决策变量从财富W0变为本身的分位数功能,进而解决了模型优化问题,之后通过拉格朗日定理来表示出免赔额的最优解然后我们得到最优解的一般必要条件和充分条件的形式表达,最后利用Yarri准则将所求问题进行化简,求得最优保险合同应为三重合同,包含小损失,大损失和赔偿是损失中值范围的常数。给出上面问题的最优赔偿函数I(·)的形式表达:[1]如果 π=(1+ρ)E[x],那么I*(z)=z,z ∈[0,M].[2]如果 πc<π<(1+ρ)E[x],那么其中(d,e)唯一一个满足 0≤d<a<e≤c,f(d)=f(e)且 E[I*(x)]=π/(1+ρ)[3]如果0≤π≤πc,那么I*(z)=其中q满足c ≤ q且[I*(x)]=π/(1+ρ)对这一结果,可以做出如下的经济解释:(1)当保险费较小(0≤π≤π),保险合同只赔偿超过一定数额的较大数额。(2)当保险费是中等范围(πc<π<(1+ρ)E[x]),保险合同为三重合同,包含小损失,大损失和赔偿是损失中值范围的常数。(3)当保险费足够大(π ≥(1+ρ)E[x]),保险合同为赔偿全覆盖。根据上述所得结果,我们利用数值模拟来分析讨论不同保费值π下,损失x所对应的的补偿函数I(x)的图像。首先通过对基本参数的赋值,分别绘制出被保险人风险厌恶系数与保费π值大小选取的图像,安全附加系数的大小对被保险人风险厌恶变化影响的图像,并结合图像给出分析。再结合给出的损失量x以及加权函数Tτ的形式表达,针对π=0.6时,分别讨论保费值π=1.5,π=3,π=4.5损失量x所对应的补偿函数I(x)的图像,通过图像比较得到当保费值π=3时,对于保险双方的效用可以同时达到最优。在本文结尾,我们给出了保费值π=3时,基于EU理论的免赔额与RDU理论下损失量x与补偿函数I(x)关系的图像比较,证明在一定范围内的损失下,基于RDU理论所得到的保险合同能更好的规避被保险人可能存在的道德风险,但相应的数据也表明,在EU理论下补偿函数I(x)的最优值为1.219,RDU理论下补偿函数I(x)的最优值为1.227,表明保险公司在规避道德风险的同时,也必须多付出0.006的补偿来平衡掉附加成本以及道德约束所带来的补偿份额的提高。