Heegaard分解是三维流形研究的一个重要对象.我们从三维流形的组合结构出发,通过研究三维流形中一些曲线和曲面,如Heegaard曲面、本质圆片和本质曲线等,把复杂的几何对象化解为若干个简单对象进行研究,进而得到三维流形的拓扑性质和几何结构.本文主要研究压缩体W上的本质圆片表示、Casson-Gordon矩形条件,以及亏格为g的柄体H边界曲面F上由Dehn扭转所得到的简单闭曲线与柄体H上的标准的3g ? 3圆片系统D的交这三个问题.本文工作总结如下:1. 2003年, Zablow证明柄体上的真嵌入的本质圆片都可以由柄体上的某个圆片系统的圆片通过连通和表示出来,本文通过研究压缩体的整体结构和圆片系统,找出了压缩体的一个标准的圆片系统,证明了压缩体上真嵌入的本质圆片都可由这个标准的圆片系统的圆片通过连通和表示出来.2.给出判定可定向的带边三维流形的Heegaard分解是强不可约的一个组合条件.3.我们研究曲面F上的一条简单闭曲线b沿另一条简单闭曲线a作Dehn扭转之后所得闭曲线(简单闭曲线a和b在F上都是本质的)和柄体上的标准的3g ? 3圆片系统D的性质,并且给出一个计算公式来计算柄体的圆片系统D与扭转所得闭曲线交点的个数,同时给出n?闭曲线沿着m?闭曲线作Dehn扭转所得闭曲线为何种闭曲线下确界的估计.最后我们通过引入分歧一维流形,给出另一个计算柄体的圆片系统D与扭转所得闭曲线交点的个数的公式,从而简化计算过程.