数值微分问题旨在根据带误差的函数节点测量值重构函数使其微分能较好地拟合精确函数微分,是一个典型的不适定问题,在许多实际领域如图像处理、材料科学、化学工程、计算力学等均有直接应用。现有的数值微分方法主要有三类,分别为插值方法(含Tikhonov正则化方法)、光滑化方法和积分算子方法。对于Tikhonov正则化方法,我们需要将原问题转化为恰当的变分问题,该类方法的计算效果很大程度上依赖于正则化项和正则化参数的合理选取,计算复杂度比较大。基于此,本文给出了一种求解数值微分的新方法,该方法执行简便且能快速找到精确函数的间断点。其基本思想是用连续分段线性函数直接拟合精确微分函数,函数节点值等于相应于该点的局部二阶插值函数导函数在节点的函数值。通过细致的理论分析可以证明,如果精确函数位于W2,∞或W3,∞s,该方法在无穷模意义下具有最佳误差逼近阶；如果精确函数是一个连续不可微函数,可基于此重构方法设计一个搜索算法快速找到间断点。和正则化方法相比,该方法的最大优点是无需求解任何线性代数方程组,从而计算复杂度得以大为降低。数值模拟结果说明了该方法的有效性和计算效率。最后,将该方法应用于数字图像边缘提取。通过客观和主观方面的评价表明,该方法与已有标准方法(Sobel算子、Prewitt算子、Log算子)相比在某些情况下有独特的优势。