【摘 要】
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奇异积分方程在数学、物理、流体力学等自然科学和工程技术问题中应用非常广泛,方程的解析解很难求出,研究其数值算法有着非常重要的实践意义.本文研究第二类非线性代数和对数弱奇异Volterra积分方程,该方程的典型特征是解在初始点导数奇异,使得常见数值方法的计算精度显著降低.本文利用解在零点的psi级数展开式将奇点分离,将奇异方程转化为正则方程,然后设计Chebyshev配置法在正则区间上求解这类方程.
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奇异积分方程在数学、物理、流体力学等自然科学和工程技术问题中应用非常广泛,方程的解析解很难求出,研究其数值算法有着非常重要的实践意义.本文研究第二类非线性代数和对数弱奇异Volterra积分方程,该方程的典型特征是解在初始点导数奇异,使得常见数值方法的计算精度显著降低.本文利用解在零点的psi级数展开式将奇点分离,将奇异方程转化为正则方程,然后设计Chebyshev配置法在正则区间上求解这类方程.我们把这种方法称为奇点分离Chebyshev配置法.第一章简述Volterra积分方程的发展历程,介绍谱方法和奇异Volterra积分方程的研究进展,并给出研究目标和论文安排.第二章为预备知识,介绍弱奇异Volterra积分方程的解在零点的psi级数展开式,Cheby-shev多项式与Chebyshev插值的性质以及收敛性分析将要用到的一些引理.第三章研究非线性奇异Volterra积分方程的奇点分离Chebyshev配置法,给出了计算格式的详细构造过程,针对线性代数奇异情形.非线性代数奇异情形和非线性代数和对数奇异情形讨论方法的收敛性,证明了数值解按照最大模收敛于方程的精确解.第四章给出数值算例验证奇点分离Chebyshev配置法对于求解第二类线性和非线性弱奇异Volterra积分方程有着很高的计算精度,并与直接应用配置法的结果进行比较,说明本文算法对于这类奇异问题的计算有着明显优势.第五章研究化学反应动力学中一类弱奇异Volterra积分方程的解在无穷远点的渐近展开式,用于准确描述方程解的长时间行为.该展开式与奇异分离Chebyshev配置法联合使用,可以得到这类问题在半无限区间上的高精度近似解.
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