我们称一个Hausdorff拓扑群G是极小的（D.Doitchinov[17]and Stephenson[43]）,如果每一个单的连续群同态G → P都是一个拓扑嵌入,这里P是任意一个Hausdorff拓扑群。在群范畴中,单的满同态即为同构。在拓扑群范畴中,一个连续的群同构不一定为拓扑同构,但是极小拓扑群满足这一性质。换言之,对于一个极小拓扑群而言,连续的群同构与拓扑同构是等价的。完全极小拓扑群是一个比极小拓扑群更强的概念:如果G的每一个Hausdorff商都是极小的,那么称G是完全极小群,这等同于G满足开映射性质（[12]）。完全极小拓扑群与分析[22]以及代数[5]有着深刻的联系（考虑离散情况下的极小群,这类群被称作不可拓扑化的群[25,35,41],更一般地说,考虑这类群的代数结构）。1972年,Prodanov证明了一个无限紧交换群的任意子群是极小的当且仅当该群拓扑同构于某个p-adic整数群。Prodanov定理也将极小拓扑群与数论联系起来。本文主要推广了Prodanov定理,同时也提出了一些有待继续研究的问题。具体内容如下:前言中,我们介绍了关于（局部）极小群的概念和背景,论文中的一些主要结果,以及论文中用到的记号。第一章中,我们研究了所有子群为（局部）极小的拓扑群,我们称这样的群为遗传（局部）极小群。首先,我们证明了[48]中的一个猜想,即Qp（?）Qp*是一个遗传局部极小群,这里Qp*是所有非零p-adic数构成的一个乘法群,群上的作用是乘法。其次,我们将Prodanov定理不同层次地推广到了不可交换群的情况。对于一个无限的超中心（特别地,幂零群）局部紧群,它是遗传极小群的情况与可交换群是一样的,即一个无限的超中心局部紧群是遗传极小的当且仅当它拓扑同构于某一个p-adic整数群。第二章中,我们主要关注遗传极小这一性质在局部紧的可解群下的情况。在这一章的开始,我们首先给出了一些关于p-adic整数群的半直积的结论。然后我们给出了所有遗传极小局部紧的可解拓扑群的一个刻画。作为这个定理的一个推论,我们证明了局部紧的可解群在遗传极小的情况下,是一个紧的亚可交换群。第三章中,我们主要研究了所有稠子群为（局部）极小的拓扑群,我们称这样的群为稠（局部）极小群。我们证明了,对于一个可交换群G,如果G是紧群或者是连通的局部紧群,那么G是一个稠局部极小群当且仅当G是一个李群或者G有一个开子群与p-adic整数群是拓扑同构的。定理3.1.8给出了 Prodanov定理的另一个推广:一个无限局部紧可交换群是稠极小群当且仅当它与P-adic整数群是拓扑同构的。对于不可交换的情况,我们给出了一个稠极小的、紧的、二阶幂零群,但是这个群既不是李群也不包含任何一个开子群与p-adic整数群拓扑同构。