【摘 要】
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非线性偏微分方程已经成为现代数学的一个重要分支,被用来描述力学,控制过程,生态与经济系统,化工循环系统及流行病学等领域的问题.这使得构造非线性偏微分方程的精确解成为
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非线性偏微分方程已经成为现代数学的一个重要分支,被用来描述力学,控制过程,生态与经济系统,化工循环系统及流行病学等领域的问题.这使得构造非线性偏微分方程的精确解成为认识和理解非线性现象的基石.本文分别讨论了三类非线性偏微分方程的群叶状结构和泛函变量分离问题,并且构造了三类方程的显式精确解.本文的最后,利用李对称群理论研究了一类非线性波方程的群不变解.这些解对于方程的定性分析起到了重要作用.主要工作如下：1.运用两种对称约化方法构造了n维非线性Schrodinger方程iut=△u+k|u|pu,p≠0,k=const.,x∈Rn的径向群不变解.通过讨论n维非线性Schrodinger方程的群叶状结构,并采用特殊拟设构造了n维非线性Schrodinger方程的径向精确解.2.运用李对称群理论给出了非齐次扩散方程xput=[xqunux]x, n≠0的显式群不变解.利用条件Lie-Backlund对称理论讨论了一般的非齐次扩散方程xput=[xqD(u)ux]x允许泛函变量分离解的分类问题,并得到了相应的泛函变量分离解.3.运用条件Lie-Backlund对称讨论了带源拟线性扩散方程ut=[D(u)ux]x+Q(u)的广义泛函变量分离解的构造问题.4.根据李对称群理论,详细讨论了非线性波方程utt=▽.((c+aup/p)▽u)+(6-a/p)up△u的约化及其径向群不变解的构造.
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