近年来,随着压电材料性能的改进、临床影像学的发展以及电子科学的飞速进步,高强度聚焦超声作为一种非侵入的组织消融技术被广泛地用于医学领域临床治疗,是超声技术及数理医学交叉领域的前沿性课题之一.然而,现有的高强度聚焦超声治疗的技术很难准确定位焦域,并且只能通过增加时间及增加超声强度的过度照射来保证治疗效果.本文将从高强度聚焦超声关于精度与风险的应用需求出发,围绕高强度聚焦超声的数学模型,研究高强度聚焦超声的形状优化和渐近行为,为探索高精度、低风险的技术奠定理论基础.我们通过对匹配焦点区域的期望压力分布的跟踪型代价泛函的形状优化问题进行分析,寻找声学透镜的最优几何形状以实现提高精度的应用需求.通过对状态方程和拉格朗日泛函的处理可推得相应的伴随方程,然后分别考虑状态方程和伴随方程的适定性问题.在状态方程和伴随方程满足一定的空间正则性的前提下,我们利用变分方法来计算代价泛函的形状导数.需要指出的是,在已有文献中,优化问题中的限制方程仅含有-（?）算子.本文研究的优化问题中的限制方程不仅含有-（?）算子还含有（?）~2算子,（?）~2算子的出现给映射方法中的区域变换带来额外的困难.对于该算子的处理技巧是本文的创新之一.基于控制风险的应用需求,需研究高强度聚焦超声数学模型的渐近行为,其中主要需要考虑Moore-Gibson-Thompson（MGT）方程的渐近行为.为此我们主要研究无界区域上MGT非线性板方程的渐近行为.针对MGT相关的线性板方程的渐近行为,使用半群方法得到MGT相关的线性板方程柯西问题的适定性,进而利用傅里叶空间中的能量法得到MGT相关的线性板方程衰减结果,并通过分析特征值的渐近展开来说明所得衰减结果的最优性,其中对于MGT线性板方程,我们考虑非临界情形的衰减,而对于耦合Gurtin-Pipkin热律的MGT板方程,考虑临界情形和非临界情形的衰减.进一步地,在适当的函数空间中利用压缩映射定理证明MGT非线性板方程柯西问题解的局部存在性,进而通过构造一个适当的能量范数并且证明这个范数关于时间的一致有界性,证得小初值问题解的整体存在性结果.最后,基于线性问题的衰减估计,证明非线性问题的衰减结果.本文通过选择合适的约束条件与代价泛函,建立更科学精准的高强度聚焦超声形状优化的数学模型.从高精度、低风险的应用需求出发,系统地研究了高强度聚焦超声的形状优化问题并分析了约束条件的渐近行为.该项工作为更先进的高强度聚焦超声治疗技术提供理论依据,可进一步促进高强度聚焦超声在医学领域的广泛应用,进而推动精准医学的发展.