【摘 要】
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本文主要使用变分方法和临界点理论研究几类非线性问题山路型单号解和变号解的存在性和多重性.全文共分为四章,第一章介绍一些背景知识和本文的研究内容,其余各章的主要内容分别为：第二章研究非线性Kirchhoff型方程非线性Kirchhoff型方程一直备受关注,在许多领域都有广泛的应用,据我们所知,现有的文献都是在有界区域Ω上研究其变号解.有别于此,我们在R3上研究该方程山路型正解、负解和变号解的存在性及
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本文主要使用变分方法和临界点理论研究几类非线性问题山路型单号解和变号解的存在性和多重性.全文共分为四章,第一章介绍一些背景知识和本文的研究内容,其余各章的主要内容分别为：第二章研究非线性Kirchhoff型方程非线性Kirchhoff型方程一直备受关注,在许多领域都有广泛的应用,据我们所知,现有的文献都是在有界区域Ω上研究其变号解.有别于此,我们在R3上研究该方程山路型正解、负解和变号解的存在性及无穷多山路型变号解的存在性.第三章研究非线性Schrodinger方程山路型单号解和变号解的存在性和多重性,当非线性项h满足适当的增长性条件和全局（AR）条件时,文献[22]研究了其变号解的存在性；文献[105]研究了其正解、负解和无穷多变号解的存在性.相异于文献[22]和[105],我们在局部（AR）条件和较弱的条件下研究了该方程山路型正解、负解和变号解的存在性及无穷多山路型变号解的存在性.这一章的结果改进了文献[22]和[105]中的结果.第四章分别研究拟线性椭圆方程拟线性Schrodinger方程和广义拟线性Schrodinger方程山路型正解、负解、变号解及无穷多变号解的存在性.由于拟线性项的存在使得上述问题的相应的能量泛函在其熟知的工作空间上没有定义,我们不能直接对其使用变分方法.为克服这一困难,我们首先使用变量替换的方法将其转化为半线性问题,然后以熟知的Sobolev空间作为相应变更泛函的工作空间,在适当的条件下得到其山路型正解、负解和变号解的存在性.进而,在非线性项h（x,t）关于第二变元是奇函数的情形下,得到其无穷多山路型变号解的存在性.
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