作为精算数学中最具有理论性的重要组成部分，集体风险理论主要研究用来刻画保险业务的随机模型．集体风险理论的基础模型是由Lundberg于1903年提出的古典风险模型．Harald Cramér基于随机过程理论将模型发展，因此古典风险模型又称Cramér-Lundberg模型．此模型用—个复合泊松过程来刻画，即索赔额独立同分布，索赔次数为泊松过程，破产问题一直是集体风险理论中的一个中心话题，起初主要关心的精算量为破产时、破产前瞬间盈余、破产赤字等，关于它们的联合分布或边际分布的许多结果已被得到．Gerber and Shiu(1998)提出的著名的Gerber-Shiu函数为研究许多破产相关的量提供了一个统一的工具．　　 除破产问题外，由于实际中的需要，分红问题得到了高度的重视．分红是指保险公司将其部分盈余作为红利分配给股东．保险公司很自然面临着选择一个最优分红策略以最大化破产前分红量．所有分红策略中，边界分红策略与门槛分红策略倍受关注．这主要因为这两种策略在实际中都易于操作且被证明在一定条件下是最优的．在边界策略下，当盈余未达到分红边界时不分红，当盈余达到分红边界时超过边界部分作为红利分掉．第二章和第三章我们将研究边界分红策略下的几种风险模型．在门槛策略下，当盈余未达到分红边界时不分红，当盈余超过分红边界时，以某种低于保费率的比率连续分掉．门槛分红策略下的风险模型将在第四章中被研究．　　 为了使风险模型更贴近实际，研究者在很多方面将古典风险模型进行了拓展，例如Sparre Andersen模型与Cox风险模型，都是在古典模型的基础上发展而来的．另外，在实际中，保险公司的收入并不是固定的，例如客户的数量有波动，索赔额与保费因通胀而提高等．Gerber(1970)通过对古典风险过程加—个独立的扩散过程来将模型拓展．扩散项表示了总索赔或保费的不确定性．自此之后，带扰动风险过程得到了越来越多的关注．大多数文献中，扩散过程通常用布朗运动来刻画．众所周知，布朗运动是随机过程理论中最重要的过程之一，它拥有丰富的性质，可以得到很多漂亮的结果．将布朗运动更多性质应用于风险理论的研究仍旧是精算研究者的重要任务．　　 基于上述背景，我的博士论文主要致力于研究几类带扰动的风险模型．这些模型包括:带扰动古典风险模型，具有贷款利息的跳扩散风险模型，常利率下带扰动Sparre Andersen模型，带利率布朗运动风险模型．最后我们研究了一类Cox风险模型．本篇论文的结构和内容安排如下:　　 第一章，对论文的研究背景及内容的纲要作了简要介绍．然后就是本篇论文的主体部分．　　 第二章，研究了两类风险模型在边界分红策略下某些函数的光滑性问题．这些函数用于表示期望折现分红函数．第一类风险模型用—个逐段决定马氏过程来刻画，第二类模型是带扰动的古典风险模型．在某些条件下，我们证明了在第一类风险模型中函数的连续可微性及第二类风险模型中函数的二次连续可微性，同时推导出了函数满足的积分一微分方程．　　 第三章，研究了一类具有贷款利息的跳扩散风险模型的最优分红问题．当盈余过程变为负值时，保险人以某贷款利率借钱，同时将用其保费收入连续还款．这样负资产可能恢复到正的水平，除非负资产达到某特定水平．在后种情形发生时，公司停止运营，此时称为绝对破产，由于边界分红策略常作为最优分红策略的备选，我们来研究本章所给定风险模型中边界分红的最优性问题，在谱负Lévy过程框架下，该问题被Loeffen(2008)所考虑．本章所研究的风险过程不再是Lévy过程，许多Lévy过程理论中的方法不再适用，我们构造了一个函数，该函数可以用来表示边界分红策略下的期望折现分红函数．在所构造函数二次连续可微且在某给定值以后为凸函数的假设下，我们利用随机控制理论证明了边界分红策略是所有分红策略中的最优策略．本章最后给出了用于说明结论的一些例子．　　 第四章，考虑了常利率下带扰动的Sparre Andersen模型，其中索赔时间为广义Erlang(n)分布．此风险模型下的门槛分红策略被考虑．在此策略下，当盈余在某分红边界下时不分红，当盈余超过边界水平，部分保费收入及所有利息收入将被作为红利分掉，常利率古典风险模型中，此分红策略被Yuan and Hu(2009)所研究，因此我们的风险模型是其拓展．利用Sparre Andersen模型中的一些技巧，我们推导出了折现分红总量的矩母函数及高阶矩所满足的积分一微分方程及边界条件．利用同样的方法可以推导出Gerber-Shiu函数满足的积分一微分方程及边界条件．本章最后一节给出了索赔次数过程为泊松过程时Gerber-Shiu函数及期望折现分红函数的显式表达，最后，给出了—个数值例子，它刻画出参数对于函数的影响．　　 第五章，考虑了带利率布朗运动风险模型．当破产发生时，公司有足够的资金可用来支撑负的资产一段时间，以期望该组合在将来恢复，这样公司可以使业务继续生存运营下去．我们的问题是负的资产总的持续时间将会是多少．当过程被布朗运动所扰动，过程的振动会产生无穷多个游弋区间和任意小的持续时，因此不能直接利用不带扰动的风险模型的处理办法．Zhang and Wu(2002)在带扰动复合泊松过程下计算了负资产的总持续时间，可以借助其方法来处理我们的问题．首先，推导出了风险过程在达到下边界前首次离开上边界时间的拉普拉斯变换，利用该结果及Zhang and Wu(2002)中相似的办法，我们推导出了负资产总的持续时间的拉普拉斯变换．　　 第六章，考虑了一类Cox风险模型的首中时、末离时及Gerber-Shiu函数．首中时与末离时都是风险理论中十分重要的量．Gerber-Shiu函数对于研究破产相关的量变得日益重要．首先，我们在Cox风险模型与古典风险模型之间建立了关系，利用该关系及古典风险模型中已得到的结果，得到了Cox风险模型首中时拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换的明显表达式．类似地，可以得到末离时的拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换．同时，也得到了Cox风险模型中Gerber-Shiu函数的显式表达．我们进—步研究了Cox风险模型中强度过程为n状态马氏过程时的情形．特别地，对二状态马氏过程可以得到更清晰的结果．　　 第七章，对本篇论文进行概括性总结，并指出将要开展的研究工作．