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群理论是十九世纪最杰出的数学成就之一.一方面在于其开拓了全新的领域并成为其他代数结构的基石,另一方面在于其对称性对其他科学领域的重要作用,如晶体结构等.其中,探讨有限群的结构是一个经典的问题,并且至今仍有许多问题亟待解决.由于极大子群的性质与群本身的结构有着紧密的联系,所以通过极大子群来研究有限群的结构是切实可行的方法.许多群论学者在这一课题都取得了重要的成果,如极大子群的共轭类数,弱二极大子群的数量,非极大交换子群具有特殊性质的有限群结构等等.本文主要研究有限群的(非幂零)极大子群个数的下界和非极大交换子群为TI-子群的有限p-群.本文总共分为三章.第一章主要是介绍极大子群的数量和具有特殊性质的非极大交换子群的重要研究成果,并罗列出第二,三章所需的一些基本概念与基本引理.第二章分为两节,依次研究了非正规Sylow子群对非幂零极大子群数量和极大子群数量的影响.为方便叙述,采用π(G),m(G),n(G)分别表示|G|的素因子的集合,G的极大子群的集合,G的非幂零极大子群的集合.主要得到如下定理和例子:定理2.1.1设N是有限群G的非交换极小正规子群且p是π(N)中最大的素数.令N是同构单群的直积,N=R1×R2×...×Rl,则G至少有pl个不包含N的非幂零极大子群.特别地,G中至少有p个不包含N的非幂零极大子群.定理2.1.2设G是有限非可解群,则有|n(G)| ≥ |π(G)|+p,其中p=min{q∈π(G)| G的Sylow q-子群在G中非正规}.定理2.1.2对可解群不一定成立.例如,幂零群,内幂零群.我们有例子2.1.1令p>1是素数,m|p-1是非素数且|π(m)|≥2,则存在阶为pm的非幂零且非内幂零的有限可解群G且|n(G)|≤|π(G)|-1.定理2.2.1若G是有限非幂零群,则有|m(G)| ≥ |π(G)|+p,其中p=min{q∈π(G)| G的Sylow q-子群在G中非正规}.第三章研究了非极大交换子群为TI-子群的有限p-群,给出了满足该性质的有限内交换p-群,p3阶群和24阶群的完全分类:定理3.1设G是有限内交换p-群.则G的非极大交换子群皆为TI-子群当且仅当G为下列情况之一:(1)Q8;(2)Mp(n,1):=,n≥2;(3)Mp(1,1,1):=.定理3.2设G是p3阶群,则G的非极大交换子群皆为TI-子群.定理3.3设G是24阶群.则G的非极大交换子群皆为TI-子群当且仅当G为下列情况之一:(A)交换群.(B)四个具有循环极大子群的非交换群:(1)广义四元数群:G=;(2)二面体群:G=;(3)半二面体群:G=;(4)通常亚循环群:G=.(C)两个没有8阶元的非交换群:(5)G≌Q8×C2;(6)G=≌D8×C4.