【摘 要】
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矩阵的奇异值分解（SVD）和矩阵对的广义奇异值分解（GSVD）是数值线性代数和科学计算领域的两种标准分解,在数值计算和工程技术领域有着非常广泛的应用背景,其有效可靠的计算具有高度的挑战性.对于SVD的计算,我们提出了计算大规模矩阵的一个或多个内部奇异三元组的调和提取和精化调和提取的Jacobi-Davidson（JD）型SVD（JDSVD）方法.这两种方法在每一步外迭代中都需要使用迭代法近似地求解
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矩阵的奇异值分解（SVD）和矩阵对的广义奇异值分解（GSVD）是数值线性代数和科学计算领域的两种标准分解,在数值计算和工程技术领域有着非常广泛的应用背景,其有效可靠的计算具有高度的挑战性.对于SVD的计算,我们提出了计算大规模矩阵的一个或多个内部奇异三元组的调和提取和精化调和提取的Jacobi-Davidson（JD）型SVD（JDSVD）方法.这两种方法在每一步外迭代中都需要使用迭代法近似地求解一个内部线性系统,即校正方程.内部方程组的求解精度严重影响JDSVD方法的收敛性态和整体效率.本论文对这两种类型的JDSVD方法进行了严格的收敛性分析,证明所有的校正方程只要解到中等精度甚至低精度,每一种JDSVD方法的外迭代就会如同精确求解了所有校正方程一样收敛.基于理论结果,我们为这些方法的内迭代设计了实用有效的停机准则.数值实验证实了理论结果和非精确算法的有效性.对于和均为列满秩的矩阵对（,）的GSVD的计算,长期以来常用的方法之一是将GSVD转化为两个数学上等价的广义特征值问题并设计算法求解,然后从计算的近似广义特征对恢复所需的GSVD元素.在本文中,我们考虑的问题是:在有限精度算法下,从精确计算所需的广义奇异值和广义奇异向量的意义上讲,两种转化为广义特征值问题的格式中哪一个格式数值上更好?我们对这两种格式进行详细的扰动分析,表明在实际计算中,应当如何从中选取合适的格式来设计和开发算法.数值实验证明了我们的理论和选择策略.对于大规模正则矩阵对的部分GSVD的计算,我们提出了一种计算GSVD的免叉积的Jacobi-Davidson型方法,称为CPF-JDGSVD方法.该方法数学上等价于求解某个叉积矩阵对的广义特征值问题,然而,通过计算两个特定矩阵的紧致的QR分解,方法避免显式地形成叉积矩阵,从而避免丢失计算的广义奇异值和广义奇异向量的精度.在每一步,方法使用迭代法近似地求解一个校正方程组,并利用得到的近似解来扩充搜索子空间,该过程称为内迭代.从给定的搜索子空间提取近似的GSVD元素的过程称为外迭代.我们对CPF-JDGSVD方法的内迭代和外迭代进行了收敛性分析.根据结果,为内迭代设计了实用的停机准则.大量的数值实验表明了CPF-JDGSVD算法的有效性.
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