【摘 要】
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本论文主要研究平均曲率流的自相似解的性质和逆平均曲率流在几何中的应用。欧氏空间中的子流形XMn-Rn+p称为是self-shrinker,如果其平均曲率向量H和位置向量X满足方程其中上表示在法空间上的投影。Self-shrinker不仅源于平均曲率流的自相似解,也描述了平均曲率流的奇点模型,在平均曲率流的研究中有重要地位。本论文第3,4,5章将研究self-shrinker的性质。我们首先证明了任
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本论文主要研究平均曲率流的自相似解的性质和逆平均曲率流在几何中的应用。欧氏空间中的子流形XMn-Rn+p称为是self-shrinker,如果其平均曲率向量H和位置向量X满足方程其中上表示在法空间上的投影。Self-shrinker不仅源于平均曲率流的自相似解,也描述了平均曲率流的奇点模型,在平均曲率流的研究中有重要地位。本论文第3,4,5章将研究self-shrinker的性质。我们首先证明了任意完备非紧致且逆紧浸入的self-shrinker必定具有至少线性的体积增长；然后我们研究具有任意余维数的,平均曲率H处处不为零且主法向量v=H/|H|平行的self-shrinker,我们将Smoczyk[1]关于这类self-shrinker的分类定理的条件进一步减弱。并作为应用,证明了一些刚性定理。随后我们还研究了self-shrinker的F-稳定性。在Colding-Minicozzi[2]的工作基础上,我们对任意余维数的self-shrinker计算了F-泛函的一阶和二阶变分公式,并证明了球面Sn+p-1（（?））中极小子流形作为self-shrinker是F-稳定的当且仅当它是球面Sn（（?）2n）。我们也得到了具有平行主法向量的self-shrinker以及乘积类型的self-shrinker的F-稳定性定理。除了平均曲率流外,以超曲面主曲率K=（K1,…,kn）的函数F=F（K）为速度函数的F-流也有广泛研究。当F取为平均曲率H时F-流即为平均曲率流。本论文第6章研究F-流的非坍塌估计,我们将Ben Andrews等人[3,4]关于欧氏空间中F-流的非坍塌估计推广到球面和双曲空间中的F-流。几何曲率流的研究重要的原因在于它在几何与拓扑中的应用。本论文第7章我们将运用Gerhardt[5]的逆平均曲率流对双曲空间中任意的星形和2-凸超曲面M （?）Hn+1（n≥2）证明一个最优的Alexandrov-Fenchel型不等式：其中σ2=σ2（K）为超曲面M的主曲率K的2-次初等对称多项式,ω。为单位球面Sn（?）Rn+1的面积,|M[为M的面积。不等式（2）取等号当且仅当M为测地球面。
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