本文的研究主要分为三个方面，包括三维：Helmholtz方程Neumann边值问题的新型边界积分．微分方程及其边界元解法，三维Signorini问题的边界元方法和以守恒积分为工具推导出的三维常见偏微分方程如定常对流扩散方程等的新型边界积分方程。首先，对于三维Helmholtz方程Neumann边值问题，用双层位势表示解，要导致求解超强奇异性积分方程，本文将通过法向导数与切向导数间的联系，采用分部积分，把对奇异积分核的导数转化为对积分方程中待定函数的导数，得出用弱奇异积分核表示的Neumann问题的解的新型边界积分．微分方程；基于此方程，导出与新型边界积分方程等价的变分方程，并讨论解的存在唯一性；用Galerkin边界元方法求解变分方程，给出数值解的误差估计。再次，导出三维Signorini问题的新型边界变分不等式，讨论其解的存在唯一性；用Galerkin边界元方法求解变分方程，给出数值解的误差估计。最后，利用格林公式，分别得出几种常见三维偏微分方程的单场守恒积分和双场守恒积分公式，基于守恒积分公式推导出他们的新型边界积分方程，再采用双方程方法求解。