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本论文主要研究带有非线性边界条件的椭圆方程．用变分法和一些分析技巧得到了其解的存在性和多重性．首先我们讨论了下面椭圆系统解的存在性和多重性
定理1．如果F和G满足(g1)—(g4)，那么存在λ*＞0，使得对所有0＜λ＜λ*/2，系统(1)至少有两个正解．
这里0∈Ω(∈) RN是一个带有光滑边界的有界区域，0≤μ＜(μ)=(N-2)2/4，1≤q＜2＜p≤2*=2N/N-2，λ＞0．主要结果是下面的定理：
定理2．假设1＜q＜2＜P≤2*，0≤μ＜μ*．存在λ0＞0使得对所有0≤λ＜λ0方程(2)有一个解序列uk()H1(Ω)，满足I(uk)＜0，I(uk)→0当k→∞．
定理3．假设1＜q＜2＜p＜2*，0≤μ＜μ*．存在λ0＞0使得对所有0≤λ＜λ0方程例有一个解序列uk()H1(Ω)，满足I(uk)＞0，I(uk)→∞当k→∞．