本文包含两部分内容:　　第一部分主要研究乘法保持问题，即研究算子代数（或矩阵代数）上的保持算子某些性质的抽象乘法映射，它是矩阵理论和算子代数的主要研究内容之一。许多学者研究了这一问题，并且取得了一些成就。但是关于无穷维空间上算子代数的乘法保持问题，过去的研究主要是针对全体有界线性算子构成的代数、或其标准算子子代数而进行的（所谓标准算子代数，即是包含全体有限秩算子的代数）。现在本文将研究一类非标准算子代数上的乘法保持问题。证明了如下结果:　　设(H)1，(H)2…是一列复的可分Hilbert空间，(φ)是从∑k(B）((H)k)到自身的保谱乘法满射（不假定(φ)具有线性和连续性），则存在酉算子U:∑k(田)(H)k→∑k(田)(H)k，对任意的A∈∑k(B)((H)k），都有(φ)（A）=UAU*。　　记(H)=Σk(田)(H)k，(A)=∑k(田)（B）((H)k)，显然(A)是非标准算子代数。上述结果表明，定义在非标准算子代数上的保谱、保持*-运算的乘法满射是通过某个酉算子空间实现的线性代数的同构。　　第二部分主要应用现代广义逆扰动稳定的特征研究了Martin.Schechter关于Fredholm算子的一个重要性质。这个性质在指标理论中有非常重要的作用。Martin Schechter曾证明了这样一个事实:对于任一个Fredholm算子A∈(φ)(X，Y)，存在一个充分小的实数η＞0，对任意T∈B(X，Y)，当‖T‖＜η时，A+T∈(φ)(X，Y)且dim N（A+T）≤dim N（A）。也就是说，任一个Fredholm算子经小扰动后不仅仍为Fredholm算子，而且扰动后算子零空间的维数小于等于原来算子零空间的维数。在这一部分，本文给出了零空间维数等号成立的一个充分必要条件。即在上述条件下，dim N（A+T）=dim N（A）当且仅当R（A+T）⌒N（A+）=0，其中A+为Fredholm算子A的一个广义逆。