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本文研究了几类加法半群为纯整群的半环,在左Clifford半环、矩形Clifford半环的延伸下,给出了它们的定义、结构与性质.本文分为三章,其主要内容如下:第一章,研究了拟Clifford半环的主要结构与性质.首先给出了拟Clifford半环的定义:半环S称为拟Clifford半环,若S是矩形环的分配格且E+(S)是正则带.其次从半环的加法半群结构出发,研究了拟Clifford半环的几种性质与结构.主要结论如下:定理1.2.1 半环S是拟Clifford半环的充分必要条件是S的加法半群(S,+)是拟Clifford半群,其极大子群是可交换的,E+(S)(?)E·(S),并且S满足以下条件:(1)(?)α ∈S,V+(α)+α+α(?)α(α+V+(α);(2)(?)α,b ∈ S,V+(αb)+αb(?)(b+V+(b))α;(3)(?)α,b∈S,V+(α)+α(?)α+αb+V+(αb)+V+(α).推论1.2.1半环S是拟Clifford半环的充分必要条件是(?)是S上的分配格同余,每个(?)-类是一个矩形环并且E+(S)是正则带.定理1.2.2对分配格D,设左正则带半环L=∪α∈DLα为左零带半环Lα的分配格D,Clifford半环T=∪α∈D Tα为环Tα的分配格D,右正则带半环R=∪α∈DRα为右零带半环Rα的分配格D,S1=[D;Lα× Tα]为左Clifford半环,Sr=[D;Tα×Rα]为右Clifford半环,我们有:半环S是拟Clifford半环当且仅当S同构于织积Si×Sr,其中Sl=[D;Lα×Tα]是左Clifford半环,Sr=[D;Tα×Rα]是右Clifford半环,且在半环同态Φ:(i,x)(?)x,(?)(i,x)∈S1与Ψ:(x,λ)(?)x,(?)(x,λ)∈∈Sr下它们有相同的半环Clifford分量T=[D;Tα].第二章,首先给出了半环Δ-积的定义,其次研究了左Clifford半环、拟Clifford半环的Δ-积.主要结论如下:定义2.2.1令D是一分配格,T=∪α∈Y Tα为半环Tα的分配格D,I=∪α∈YIα是半环Iα的分配格D.关于任意α∈D,记Sα=Tα × Iα,关于任意α,β∈D,α ≤β,令映射:Ψα,β:Sα→(?)(Iβ)α(?)ψαα,β满足:(P1):若(u,i)∈Sα,i’∈Iα,则Ψα,α(u,i)i’=i.(P2):若(u,i)∈Sα,(v,j)∈Sβ,则(a)ψα,α+β(u,i)ψβ,α+β(v,j)为Iα+β上的常值映射,记其值为<ψα,α+β(u,i)ψβ,α+β(v,j)>.(b)当α+β≥δ-,<ψα,α+β(u,i)ψβ,α+β(v,j)>=k时,有ψα+β,δ(u+v,k)=ψα,δ(u,i)ψβ,δ(v,j).又令(u,i)+(v,j)=(u+v,<ψα,α+β(u,i)ψβ,α+β(v,j)>)(1)(u,i)·(v,j)=(uv,ij)(2)其中u+v表示u与v在T中的加法,uv是u与v在T中的乘法,ij是i与j在I中的乘法.易验证S=∪α∈D Sα连同公式(1)(2)定义的运算成一半环,称此半环为半环T与I关于D和Ψα,β的Δ-积,记做S=TΔD,ΨI,称此Δ一积中的{Ψα,β|α,β∈Y}为其结构函数.定理2.2.1(1)令T=∪α∈DTα为Clifford半环T关于环Tα的分配格分解,I=Uα∈DIα为左正则带半环I关于左零带半环Iα的分配格分解,则T与I关于D和任意结构同态Ψα,β的Δ-积为一个左Clifford半环,它以作为半环直积的Sα=Tα ×Iα为其子半环,且它是Sα的分配格D.(2)反之,任何左Clifford半环都可以这样构造.定理2.2.2令T=∪α∈D Tα是Clifford半环关于环Tα的分配格分解,I=∪α∈DIα与Λ=∪α∈DΛα分别是左、右正则带半环I、Λ关于左、右零带半环Iα、Λα的分配格分解.关于任意α,β∈D,α≤β,作映射Φα,β:Sα→(?)1(Iβ)a(?)φαα,β.Ψα,β:S’α(?)(?)2(Aβ)a(?)ψαα,β.其中Φα,β满足(Q1):若(i,x)∈Sα,i’,i∈Iα,则φα,α(i,x)i’=i.(Q2):若(i,x)∈Sα,(j,y)∈Sβ,则(a)φα,α+β(i,x)φβ,α+β(j,y)为Iα+β上的常值映射,记其值为<φα,α+β(i,x)φβ,α+β(j,y)>.(b)当α+β≤δ,<φα,α+β(i,x)φβ,α+β(j+y)>=k时,有φα+β,δ(i,x+y)φα,δ(i,x)φβ,δ(j,y).Ψα,β满足与(Q1),(Q2)对偶的(Q’1)(Q’2),其中x+y表示x与y在T中的和.在集合S=∪α∈D(Iα×Tα×Λα)中定义运算:(?)(i,x,λ)∈Sα,(j,y,μ)∈Sβ.(i,x,λ)+(j,y,μ)=(<φα,α+β(i,x)φβ,α+β(j,y)>,x+y,<ψα,α+β(x,λ)φβ,α+β(y,μ)>),(1)(i,x,λ)·(j,y,μ)=(ij,xy,λμ).(2)其中x+y表示x与y在T中的和,ij是i与j在I中的乘法,xy是xx与y在T中的乘法,λμ是λ与μ在中Λ的乘法.则S连同运算(1)(2)成一拟Clifford半环,此时称S为I,Λ与T关于D和结构同态Φα,β,Ψα,β的Δ-积.反过来,任一拟Clifford半环都可以这样构造.第三章,研究了正规Clifford的结构与性质,首先给出了正规Clifford半环的定义:半环S为正规Clifford半环,若半环S是矩形环的分配格且E+(S)是正规带.其次在加法半群结构的基础上研究了拟Clifford半环的结构与性质,最后研究了正规Clifford半环的强分配格形式,主要结论如下:定理3.1.1半环S是正规Clifford半环的充分必要条件是S的加法半群(S,+)是正规纯整群,其极大子群是可交换的,E+(S)(?)E·(S),并且S满足以下条件:(1)(?)a ∈ S,V+(a)+a(?)a(a+V+(a);(2)(?)a,b ∈ S,V+(ab)+ab(?)(b+V+(b))a;(3)(?)a,b∈S,V+(a)+a(?)a+ab+V+(ab)+V+(a).推论3.1.1半环S是正规Clifford半环当且仅当(?)是S上的分配格同余,每个(?)-类是矩形带半环且E+(S)是正规带.定理3.1.2 对分配格D,我们令[D,Lα,φα,β]为左正规带半环L关于左零带半环Iα的强分配格DD分解,∪α∈DTα为Clifford半环T关于环Tα的分配格DD分解,[D,Rα,ψα,β]为右正规带半环R关于右零带半环Rα的强分配格D分解,我们有:若左正规带半环L=[D,Lα,φα,β],Clifford半环T=∪α∈D Tα,右正规带半环R=[D,Rα,ψα,β],其中Lα是左零带半环,Tα是环,Rα是右零带半环,则I、T、R的织积是正规Clifford半环,反之每个正规Clifford半环都可以用这样的织积表示.定理3.2.1正规Clifford半环S是矩形环Sα的强分配格当且仅当E+(S)是(S,+)的左酉子集.