本文以离散变分原理为主线,借助离散变分技巧构造了Birkhoff系统的保结构算法、广义Birkhoff系统的离散变分差分格式、约束Birkhoff系统的保结构算法以及Birkhoff系统的离散最优控制理论.首先,研究了Birkhoff系统保结构算法的构造方式.通过直接离散Pfaff–Birkhoff变分原理诱导出与之对应的离散Birkhoff方程,作为原有连续系统的数值差分格式,该方程组是自然保辛的.由此得到的Birkhoff系统的保结构算法,由于保持了原有连续系统的内在辛结构和变分特性,在模拟动力学系统的运动时更加有效.针对单摆运动方程、Lotka–Volterra系统以及线性衰减振子方程的数值模拟结果表明,与传统的差分格式相比,文中所构造的Birkhoff系统的保结构算法在收敛性、稳定性以及保守恒量方面具有明显优势;与通过其他构造方式所得到的保结构算法相比,由离散变分原理所得到的保结构算法在同阶精度的情况下更加精确.其次,讨论了广义Birkhoff系统高效差分格式的构造方法.本文通过修正Pfaff–Birkhoff变分原理,给出了能够直接诱导广义Birkhoff方程的Pfaff–Birkhoff–D’Alembert原理.通过直接离散Pfaff–Birkhoff–D’Alembert原理,诱导了相应的离散广义Birkhoff方程.当满足一定的非退化条件时,所得到的离散广义Birkhoff方程就确定了原始连续系统的一种数值离散格式——离散变分差分格式.这种离散变分差分格式,尽管不再是严格意义上的保辛算法,但由于兼顾了连续系统的近似变分结构,在模拟动力学系统的运动时比传统差分格式更加精确.数值验证表明,广义Birkhoff系统的离散变分差分格式不仅能够有效地模拟动力学系统的运动行为,而且可以精确预示系统的能量演化趋势.然后,将广义Birkhoff系统的离散变分差分格式应用于最优控制问题,提出了Birkhoff系统的离散最优控制理论.通过对目标泛函、受控方程以及固定边界条件的直接离散,将Birkhoff系统的最优控制问题转化为一个有限维的非线性最优化问题.其约束条件中的离散受控方程正是之前所构造的广义Birkhoff系统的离散变分差分格式.与采用传统差分格式离散最优控制问题相比,本方法能够诱导更接近实际的最优化问题,进而给出更加精确的离散最优控制,并且在离散划分充分细密的情况下,所求得的离散最优控制能够满足实际问题的需要.最后,研究了约束Birkhoff系统保结构算法的构造方法.与传统的离散方式不同,在构造约束Birkhoff系统的保辛格式时,本文直接离散与之对应的条件极值问题,再由此诱导具有自然保辛性质的离散约束Birkhoff方程.如此构造的保结构算法在执行时,不仅需要知道被模拟系统在初始时刻的状态,而且需要指定系统在其下一节点处的状态.然而,精确指定系统在该节点处的状态使之严格满足约束方程通常是非常困难有时甚至是不可能的.为此,文中相应地提出了一种自然、有效并且合理的解决这种初始化问题的方案.