图的连通性是图的最基本的性质之一,是图论中重要的研究课题。探讨连通图的结构特征,寻求连通图的构造方法一直是图论研究的前沿课题之一。为了寻找连通图的构造方法,人们的主要研究手段是引入一些能够保持图的连通性特性的运算。基于此,图的可收缩边运算成为研究复杂连通图的有力工具之一。本文主要探讨了k-连通图中最长圈上的可收缩边的数目,并得到如下结果：引理2.1 设Px=x1x2…xn=y是k-连通图G中的一条最长的(x,y)-路,xixi+1(i=1,2,…,n-1)是P上一条不可收缩的边,且S={xi,x2+1,u1 …uk-2}是其对应的k-点割。则G-S的每个连通分支至少包含P上的一点。引理2.2 设P:x=x1x2…xn=y是k-连通图G的一条最长的(x,y)-路,且G的任意断片的阶至少为[k/2]+1。则P上至少包含两条可收缩边。定理3.1 设G是一个k-连通图且G的任意断片的阶至少是[k/2]+1,C= x1x2…xnx1是G的任意最长圈,则C上至少有三条可收缩边。更进一步,若该k-连通图中存在哈密顿圈,有如下结果：定理3.2 设G为k-连通图(k≥2),G的任意断片的阶至少为[k/2]+1,若G中存在哈密顿圈C’,则C’上至少有六条可收缩边。