【摘 要】
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继四元数和分裂四元数提出之后,广义四元数于1982年由RS Pierce..教授作为一种结合代数提出.大多数学者认为广义四元数是四元数体的一种推广.2014年,B.Schmeikal教授在其文章中介绍了8种四维代数以及相关性质,(分裂)四元数代数也是其中之一.但据作者所知,作为四维代数的两种特殊情况,学者们对于四元数与分裂四元数线性方程组问题都是进行分类讨论,甚至在分裂四元数方面还没有给出相应的结论.广义四元数的提出为四维代数的统一提供了条件,也逐步成为当下的研究热点之一.本文旨在以统一的方式提出对四元数
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继四元数和分裂四元数提出之后,广义四元数于1982年由RS Pierce..教授作为一种结合代数提出.大多数学者认为广义四元数是四元数体的一种推广.2014年,B.Schmeikal教授在其文章中介绍了8种四维代数以及相关性质,(分裂)四元数代数也是其中之一.但据作者所知,作为四维代数的两种特殊情况,学者们对于四元数与分裂四元数线性方程组问题都是进行分类讨论,甚至在分裂四元数方面还没有给出相应的结论.广义四元数的提出为四维代数的统一提供了条件,也逐步成为当下的研究热点之一.本文旨在以统一的方式提出对四元数和分裂四元数代数都有效的线性方程组求解技巧.为此,我们围绕V四元数代数和广义四元数代数,研究线性方程组的Cramer法则、构造性解法以及最小二乘问题.主要包括以下几个方面：
第一部分,简要介绍四元数,分裂四元数,广义四元数和其它四维代数的研究背景与现状,并阐述广义四元数线性方程组的研究意义以及本文的主要结果；
第二部分,引入四元数与分裂四元数的统一形式—V四元数代数,讨论代数的基本性质,通过同构复矩阵表示给出V四元数矩阵的秩、伴随矩阵、逆矩阵的定义,推导出V四元数代数上的Cramer法则；
第三部分,在V四元数代数基础上,引入新的复(实)矩阵表示,并且通过V四元数线性方程组与对应的复(实)矩阵表示方程的关系,推导出两种线性方程组的构造性解法,并证明其可行性；
第四部分,在广义四元数代数基础上,引入广义四元数矩阵的复(实)矩阵表示和矩阵的范数定义,由复(实)矩阵表示方程与原线性方程组的解的对应关系,推导出两种求解最小二乘问题的代数技巧,这两种代数技巧不仅适用于四元数与分裂四元数代数,也适用于其它四维代数(Nectarines、Conectarines).
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