【摘 要】
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客观世界中大多数自然现象究其本质而言是非线性的，其求解比线性问题要困难的多，计算机的出现，大大提高了人类求解复杂非线性问题的能力，使得数值计算和模拟成为目前广泛使用的手
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客观世界中大多数自然现象究其本质而言是非线性的，其求解比线性问题要困难的多，计算机的出现，大大提高了人类求解复杂非线性问题的能力，使得数值计算和模拟成为目前广泛使用的手段.然而，数值计算也有其局限性，尤其在处理无限域，多解，奇异性等方面很困难.而解析近似方法在处理这些问题方面具有较大的优势.因此，解析近似方法与数值计算方法一样，具有重要的科学价值，二者相互补充，一直得到国际学术界的高度重视. 本文主要做了两个方面的工作: 一，微分方程方面:在NDLT-HPM（非线性分布拉普拉斯-同伦摄动算法）的基础上，通过引入参数h，提出了一种修正的NDLT-HPM(简称MNDLT-HPM)，参数的引入使得求解更加灵活，且能调节和控制级数解的收敛域，克服了NDLT-HPM在嵌入参数p=1处级数解可能不收敛的局限性，使得级数解可以有效地收敛至精确解，从而获得足够精确的解析近似解. 二，代数方程方面: (1)对两种经典的三阶迭代格式进行加权，再综合Thiele型连分式插值，将加权得到的迭代格式提高到五阶.此外在Kou jisheng提出的三种五阶收敛迭代格式的基础上通过增加一步迭代，得到三种十二阶收敛的迭代格式. (2)因一些非线性方程的根难以求解，但在满足一定精度的前提下，考虑求解其根的范围问题是可行的.利用数论中经典的序贯优选算法(SNTO)将非线性方程和多项式方程联系起来，用友矩阵将多项式的根和矩阵的特征值关联起来，进而通过对矩阵特征值的探讨来估计非线性方程根的范围.
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