【摘 要】
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由于欧式空间中的凸集构成的集族对任意交和定向并封闭,我们可以像拓扑一样对凸集族进行公理化定义,得到抽象凸结构的概念.实际上,除了欧式空间,凸结构还广泛存在于序与格论、抽象代数、度量空间和图等结构中.现如今的凸结构理论已成为一门新兴的数学分支,并且在格论、图论、工程和最优化等领域中都有十分重要的应用.几乎所有基于集合和集族的数学结构都有一些数值特征表征相应结构的特性,例如矩阵的秩、向量空间的维数、拓
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由于欧式空间中的凸集构成的集族对任意交和定向并封闭,我们可以像拓扑一样对凸集族进行公理化定义,得到抽象凸结构的概念.实际上,除了欧式空间,凸结构还广泛存在于序与格论、抽象代数、度量空间和图等结构中.现如今的凸结构理论已成为一门新兴的数学分支,并且在格论、图论、工程和最优化等领域中都有十分重要的应用.几乎所有基于集合和集族的数学结构都有一些数值特征表征相应结构的特性,例如矩阵的秩、向量空间的维数、拓扑空间的权和胞腔度、拟阵的秩等.凸空间的主要数值特征包括arity、秩、Cratheodory数、Sierksma数、Helly数和Radon数等.在这些数值特征中,arity是最基础和最重要的一个,它通过凸包算子来描述有限子集扩张能力,进而表征整个结构的扩张能力.在专著《Theory of Convex Structures》中,Van de Vel将凸空间的arity描述为:凸结构（X,C）的arity ≤n当且仅当对于任意的F（?）C,|F|≤n蕴含co（F）（?）C.然而这种描述方式只描述了arity的某个上界,但从严谨的角度来说,该数值特征应为某一特定的自然数.比如在上述专著第248页,Van de Vel作了进一步描述:凸空间（X,C）的arity是一个自然数a,它满足:对于任意的n ∈N,a ≤ n当且仅当对于任意的F（?）C,|F| ≤ n蕴含co（F）（?）C.实际上,Van de Vel在一定程度上混淆了arity=n和arity≤n的差异,其主要原因是没有给出凸空间的arity的严格定义.本论文的目的是给出凸空间的arity的一个形式化的严格定义,系统研究商空间与原空间、子空间与超空间、积空间和因子空间等的arity之间的关系,并将对模糊凸结构的arity的定义进行初步探索.本文首先通过引入凸空间的n-截断的概念,给出了凸空间的arity的严格定义,讨论了偏序集、格和度量空间中凸结构的arity,证明了凸结构的arity=1当且仅当它是Alexandrov的;其次,给出了积空间的arity和因子空间的arity的严格关系表达式,该表达式修正了专著《Theory of Convex Structures》中的一个错误;最后,利用模糊集的势对模糊凸结构的arity的定义进行了初探.
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