本文中我们所说的曲面为闭的二维流形.如果我们能把一个图画到曲面上使得边与边之间仅在端点处相交,那么称这个图为曲面可嵌入图,这样的一个画法称为该图的一个曲面嵌入.一个曲面嵌入图为这个曲面可嵌入图以及它的某个曲面嵌入.一个图的独立边集称为这个图的匹配.n为给定的整数.称一个具有至少2n + 2个顶点的图为n-可扩的,如果此图中任意大小为n的匹配都能扩充成完美匹配.称一个具有至少n + 2个顶点的图为n-因子临界的,如果删除此图中任何大小为n的点集后剩下的图有完美匹配.给定至少具有2m + 2n + 2个顶点的图G,如果对于任意两个不交的大小分别为m和n的匹配M,N,它都存在一个完美匹配F满足F（?）且F∩N =（?）,那么称图G具备性质E（m,,n）,或者简称G 是 E（m,n）的.关于图的可扩性、因子临界性以及限制匹配扩张的研究都属于匹配扩张理论范畴.本文主要考虑的是曲面嵌入图的这些性质的研究.全文共分为七章.在第一章中,我们首先介绍与本文相关的基本概念、术语以及一些记号等,然后阐述与本课题相关的研究背景和进展,最后总结本文所得到的主要结论.在第二章中,我们给出了曲面嵌入图的顶点数与n-可扩的关系.对于一个给定曲面上的图,我们给出了它的顶点数的一个下界,此下界为与曲面欧拉示性数和n有关的数值,证明了只要它的顶点数大于等于这个下界,它便不是n-可扩的.最后我们证明了这个下界在n = 4,5时是最好的.在第三章中,我们考虑了曲面嵌入图的限制匹配扩张性质.记μ（∑）是使得任意嵌入到该曲面上的图都不是k-可扩的最小的正整数k,即任何嵌入到曲面∑上的图都不是E（μ（∑）,0）的.我们证明了任何嵌入到曲面∑上的图都不是E（μ（∑）-1,1）的.Porteous已经证明一个图若具有性质E（μ（∑）,0）,那么它肯定是E（μ（∑）-1,1）的.我们举例说明反过来是不成立的.在第四章中,借助Thomassen对Klein瓶上富勒烯图的分类结果,利用拓扑中的方法,我们将Klein瓶上富勒烯图重新划分为规则的两类:K（p,q,t）和N（p,q,t）,其中K（p,q,t）为二部图,而N（p,q,t）为非二部图.这种重新划分使得Klein瓶上的富勒烯图的结构十分清楚.叶东和张和平对H（p,q,t）和K（p,q,t）的2-可扩性进行了刻画,这里H（p,q,t）为环面上的六角系统.我们主要研究了N（p,q,t）的 2-可扩性.在第五章中,我们对Plummer和Aldred在一篇文章中提出的一个问题给出了一个正面的回答,即证明了对任意的整数n,环面和Klein瓶上6-连通的图具有性质E（1,n）和 E（0,n）.在第六章中,我们研究了曲面嵌入图的与因子临界相关的性质.首先,我们证明了当顶点数足够大时,它不是6-因子临界的并且证明了 6不能再小.其次,刻画了环面上所有的5-因子临界图,也即是刻画了环面上达到最大因子临界度的图.在最后一章中,我们刻画了环面上的3-可扩图.Dean证明了环面上的图最多是3-可扩的,由此,我们刻画了环面上所有达到最大可扩性的图.