自Mulvey提出Quantale的概念以来,Quantale理论的研究和应用得到了很大的发展,其思想和方法对数学、逻辑以及理论计算机科学的若干分支产生了深远的影响.基于Quantale中的蕴涵算子,Rump和杨义川教授在2013年提出量子B-代数的概念,并对其进行了一系列的研究.量子B-代数是一种非交换的逻辑代数,为广泛的非交换代数逻辑提供了统一语义.同余关系与拓扑的研究有助于深入了解量子B-代数的内在结构和性质.基于此,本文对量子B-代数上的同余关系和拓扑展开研究,主要内容及创新如下:第一部分主要研究量子B-代数上的同余关系、同态映射及由同余关系所诱导的一致结构.逻辑代数上的同余关系通常是由滤子进行诱导,由于量子B-代数是一种偏序代数结构,其上的滤子所诱导的同余关系下的商结构不一定为量子B-代数.本文结合偏序集上的同余关系及代数上同余关系的定义,引入了量子B-代数上一种新的同余关系,证明在此同余关系下的商结构为量子B-代数.给出了与之相对应的F-态射的定义及等价刻画,得到了量子B-代数上的同态基本定理.借助同余关系诱导了量子B-代数上的一种一致结构,证明该一致结构所诱导的拓扑空间为第一可数的、零维的、局部紧的和完全正则的,且量子B-代数上的二元运算关于该拓扑连续,从而为拓扑量子B-代数.最后给出一致的量子B-代数的概念,证明由同余关系诱导的一致空间为一致的量子B-代数.第二部分主要研究量子B-代数上由可滤同余关系族所诱导的拓扑及其完备化.首先通过一族可滤的同余关系诱导出量子B-代数上的拓扑,研究了该拓扑空间及其商空间的性质.接着证明了量子B-代数上的二元运算关于该拓扑连续,并给出了构造具有2分离性的拓扑量子B-代数的一种方法.之后在量子B-代数上引入了一类以定向集为指标集的柯西网及其收敛性的定义,并通过在柯西网所构成的集合上定义合适的同余关系给出一类量子B-代数逆系统的逆极限的等价形式.最后引入一类拓扑量子B-代数的完备性的定义,在格序情形下给出了由可滤同余关系族诱导的拓扑量子B-代数完备的等价刻画.