在代数领域中,保持映射通常指的是两个代数系统之间把代数系统中算子的某种特征或代数系统自身的某种特征作为不变量的映射。保持问题则是刻画这种映射结构的问题。关于保持问题的研究可追溯到1897年,Frobenius刻画了复矩阵空间保行列式的线性映射的结构。至今,保持问题已成为矩阵与算子理论中最活跃最富有成果的领域之一。关于保持问题的分类,有很多种:从映射作用的集合角度,保持问题一般可分为矩阵代数上的保持问题和算子代数上的保持问题;按照不变量的性质,保持问题通常可分为保持函数、变换、子集和关系四类;从映射自身的角度,保持问题主要分线性、加法、乘法、一般及其它保持问题。目前,一般及其它保持问题的结果较线性、加法等保持问题的结果少,但应用更广泛,而且研究方法上也与研究线性、加法等保持问题的方法不同,因此,一般及其它保持问题更受广大学者的关注。　　针对一般及其它两类保持问题,本文分别从映射所作用的集合及不变量的角度,采用线性代数技术和约化技术研究了如下四个问题:　　(1)刻画了2×2复矩阵空间上保持谱半径的一般映射的形式。由于谱、谱半径理论不但在代数领域中是重要的,在微分方程系统稳定性理论等其它领域中都是至关重要的,关于保持谱半径的线性、加法及乘法保持问题的刻画受到普遍关注,成果丰富。由于没有线性条件,甚至没有可加条件,保持谱半径的一般保持问题难度较大,结果并不多见。由于2×2矩阵空间的局限性,2×2矩阵空间上的研究工作往往与高维矩阵空间上相应的工作有很大区别,其保持映射的结构与高维矩阵空间上相应保持映射的结构也不同。本文研究了2×2复矩阵空间上保持谱半径的不具备满射条件的映射形式。从研究结果可以看出2×2复矩阵空间上保持谱半径的不具备满射条件的映射依然是标准映射。　　(2)研究了保零三重积、零若当三重积的三线性映射的结构。研究矩阵代数上保持零积、零若当积、交换等线性映射结构的问题,通常可以通过考虑保持某种零积性质的双线性映射有效地解决。三重积和若当三重积的概念在巴拿赫代数及矩阵广义逆理论中有广泛的应用,本文通过考查保持零三重积、零若当三重积的三线性映射,完成了对保零三重积、零若当三重积的线性映射结构的刻画。从研究结果可以发现此结果推广了已有保持零积、零若当积的双线性映射的结论,进一步丰富了其它保持问题的成果。　　(3)给出保持对称、反对称和上三角矩阵秩k的所有函数形式,以及保n阶矩阵行列式、伴随和幂等的函数的结构。函数保秩的理论在g-积分理论中有重要应用,目前,关于保持矩阵秩的函数保持问题已有一些结果,本文分别刻画了保持任意域上的n阶对称、反对称和上三角矩阵秩k的所有函数形式,同时,分别给出了保持任意域上的n阶矩阵行列式、伴随和幂等的函数的结构,丰富了函数保持问题的成果。　　(4)刻画了标准算子代数上的双向完全保对合及双向完全保Drazin逆的满射结构。对合算子在Chi-方分布、组合问题中有重要应用,Drazin逆算子在马尔科夫链、奇异微分方程等领域中有重要应用。本文刻画了在无限维巴拿赫空间标准算子代数上的双向完全保对合及双向完全保Drazin逆的满射结构,从研究结果可以看出,对合算子和Drazin逆算子是完全保持问题中的同构不变量。　　以上四方面内容的研究不但丰富了矩阵及算子理论,而且有助于更清晰地理解所考虑的矩阵或算子不变量、集合、函数及关系,因此,进一步体现了保持问题的理论研究价值;同时,这四方面的保持问题在微分方程、量子力学、系统理论、几何及泛函分析等领域中都有广泛的实际应用背景,体现了保持问题在应用方面的重要意义。