对于形如 sum from a≤i≤b to f（i）tⁱ （1）的有限和，当t=1时，就是经典的Euler-Maclaurin公式研究的内容。但当t≠1时，研究者甚少。1995年，G.F.C.DeBruyn研究了形如 sum from i=1 to n i^ptⁱ=1^pt+2^pt²+…+n^ptⁿ的所谓“算术——几何级数”的求和公式。接着在1999年和2000年，L.C.Hsh&P.J.-S.Shine和L.C.Hsh&E.L.Tan分别对此给出了若干推广。在此之前，王兴华在1998年曾经给出过（1）的一个一般求和公式（只不过没有用通用的Eulerian函数而是重新定义了一种另外形式的组合工具来表示）。 本文首先用统一的方法证明了高阶可微函数分别利用Bernoulli函数和Eulerian函数表示的两个定理。在此基础上，讨论了这两个公式在快速算法的计算复杂性分析以及若干级数求和（包括（1））等方面的应用。全文共分三章。 第一章在发生函数和Blissard演算的基础上，利用Bernoulli数、Bernoulli多项式和Bernoulli函数或Eulerian数、Eulerian多项式以及Eulerian函数，提出了关于高阶连续可微函数的如下两个新的表示定理： 定理1：设f（z）为在z所涉及区间内的n+1次连续可微函数，则 f（z）=sum from k=0 to n+1 （B_k/k!）[f^（k-1）（z+1）-f^（k-1）（z）]-（1/（n+1）!）integral from z to z+1 B_n+1^*（z-x）f^（n+1）（x）dx，其中f^（-1）（z）表示f（z）的不定积分，B_k（k=0，1，2，…n+1）和B_n+1^*（z）分别是Bernonlli数和Bernonlli函数。 定理2：设f（z）为在z所涉及区间内的n+1次连续可微函数，则 f（z）=sum from k=0 to n (（a_k（t）/k!）[f^（k）（z）-tf^（k）（z+1）]+（t/n!） integral from z to z+1 a_n^*（z-x,t）f^（n+1）（x）dx其中t≠1，a_k^*（z,t）是Eulerian函数，a_k（t）=（A_k（t））/(（1-t）^k+1)，A_k（t）为Eulerian多项式。 特别地，当.厂（z）为n次多项式时，还给出了不带余项的Bemoulli表示或Eulerian表示。 上述结果在分析用减半递推技术设计的快速算法和并行算法的效率（复杂性）分析方面有重要应用。特别地，我们研究了关于正值自变量x的未知函数T（x）的差分方程T（x）一ap丁（与+x“f（z）（f（z）为在:所涉及区间内的n+1次连续可微函数，:=109‘，x）， （2）在p=q以及p笋q的两种情况下的通解。主要结果如下:定理3:设f（z）为在:所涉及的区间内的n+1次连续可微函数，则有T（x）=其中z二·【c（x）、f‘厂（，、，）咖+赞冬，（*一）（:+1）一毕万f 刃下或k!Ln+1）!刃B刃+;（z一夕）f“，+’)（y+l）dy]=109。x，f(一”（z）表示f（z）的不定积分，B*（k=o，l，2，…n+1）和B二+，（z）分别是Bernonlli数和Bernonlli函数，C（x）表示右半实轴（0，+二）卜满足c（x）一以与的任意函数. a定理4:设.f(约为在z所涉及的区间内的n+1次连续可微函数，则有T（x）=L式中zC（x）x‘’一州夕华尸（:、1） 高k!方f·:(一，，‘，·(一’l“一”’f‘”‘”(，·‘，办‘=109。x，t=a叮一p，a;（:，，）是Eulerian函数，d*（，）= A*（t）（l一z）‘十’ A、（l）为Eulerian多项式。 方程（2）可以做如下解释:一个规模为x的问题，可以以x“厂（:）的计算代价化为。尸个规模为三的同一问题，那么该问题的计算成本（计算复杂性）T（x） a就满足上述递归方程。 第三章讨论第一章中函数的表示定理在求和问题上的应用。主要结果如下:定理5:设f(习为在:所涉及的区间内的。+1次连续可微函数，则艺f（‘+‘）-蕙令【f“一”(二万，一了‘“一”(“，，（n+1）!f‘“B:+l（z一x）f“’‘，’（x）滋，其中万为正整数，f‘一”（z）表示f（z）的不定积分，召*（k=0，l，2，…n+l）和B:+.（z）分别是Bemonlli数和Bemonlli函数。 定理6:设.f（z）为在:所涉及的区间内的n+1次连续可微函数，则当t笋0，l时，有等式艺f(:+‘丫‘一夕蝉[、‘*，（:）一，·、‘*，（:+、）]、奥 简左!n!f‘“a:（z一x，t），一【二一x，f‘n+”（x）去成立，其中万是正整数，a;（z，，）是Eulerian函数，a*（‘）A*（t）（l一r）左十’ A、（t）为Eulerian多项式。 需要指出的是，定理5是独立于定理6的，定理5亦不可由定理6得到，二者不可互推。特别地，利用定理5和定理6，还给出了艺f（i）“（M，N为整数，一巨0三M<N）的求和公式。