【摘 要】
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微分方程常出现在工程和科学领域中,应用十分广泛,而大多数微分方程精确解的求解并不容易,故发展可靠、高效的微分方程数值解方法至关重要.小波分析是多分辨分析的一种重要技术,常作为积分、微分方程数值求解的重要数学工具.目前求解微分方程的小波方法有CAS Picard方法、Chebyshev小波方法、Legendre小波方法、Haar小波方法等.而以上方法中皆为二尺度小波,三尺度小波很少被提及.印度学者R
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微分方程常出现在工程和科学领域中,应用十分广泛,而大多数微分方程精确解的求解并不容易,故发展可靠、高效的微分方程数值解方法至关重要.小波分析是多分辨分析的一种重要技术,常作为积分、微分方程数值求解的重要数学工具.目前求解微分方程的小波方法有CAS Picard方法、Chebyshev小波方法、Legendre小波方法、Haar小波方法等.而以上方法中皆为二尺度小波,三尺度小波很少被提及.印度学者Ratesh Kumar的论文中提出了三尺度Haar小波的概念,为研究小波尺度对数值计算结果的影响,本文给出三尺度的第3类Chebyshev小波的定义,并结合Picard迭代对微分方程求解.本文主要工作如下:1.提出了一种求解高阶微分方程数值解的第3类Chebyshev小波配点法.基于位移第3类Chebyshev多项式,借助Laplace变换推导了第3类Chebyshev小波函数的Riemann-Liouville分数阶积分表达式,并给出了该方法下的误差估计.利用小波配点法,将高阶微分方程转化为代数方程组求解.数值结果说明了该方法的有效性.2.构造了三尺度第3类Chebyshev小波函数,并证明了该小波函数的正交性及小波函数展开的收敛性和误差估计.基于第一部分内容,类似的推导了三尺度第3类Chebyshev小波函数的Riemann-Liouville分数阶积分表达式.结合Picard迭代,利用三尺度第3类Chebyshev小波配点法将非线性分数阶微分方程的初值问题及边值问题离散为代数方程组问题求解.数值结果说明了该方法的有效性和适用性.3.在一维三尺度第3类Chebyshev小波的基础上给出了二维三尺度第3类Chebyshev小波的定义,并给出了二维三尺度第3类Chebyshev小波函数展开的收敛性.结合Picard迭代,并利用三尺度第3类Chebyshev小波配点法将非线性奇异微分方程离散为线性方程组,最后化为Sylvester方程形式求解.数值结果说明了该方法的高精度性和可行性.
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