单纯映射(Simplical Mappings)研究的是针对单纯复形网格的映射,是数字几何处理的一个基本问题。在数字几何处理及相关领域的快速发展趋势下,单纯复形网格的应用越来越广泛,以网格参数化和网格变形为主的单纯映射的新应用需求也逐渐增加,使得问题建模的复杂度也相应增大,其中不乏各种非线性模型。而寻求解决这些非线性控制下单纯映射问题的建模方法和高效算法,正是顺应了数字几何处理的发展趋势,成为数字几何处理的重要任务之一,具有重要的现实意义。本文分别针对纹理映射、局部防翻转映射以及体参数化等单纯映射问题进行了深入研究,并提出了相应的非线性建模方法和高效的求解技术。本文研究的主要内容有如下几方面：·提出了一种内容敏感的纹理映射方法。传统的纹理映射方法往往着重于如何减少参数化形变误差以及如何满足位置约束而不发生网格翻转,而很少考虑纹理内容。本文提出了内容敏感的纹理映射问题,采用重要图表示纹理内容的重要度,将其描述为以重要度加权的网格参数化问题。为使映射结果具有良好的保角和保面积性,同时解决映射中可能存在的三角形塌缩和翻转问题,本文利用障碍罚函数的性质,构造了一种改进的LSCM形变能量(LSCM+)度量参数化的形变误差。由于目标函数中三角形权重和纹理坐标是相互依赖的,非线性程度较高,为求解该参数化问题,本文采用交替迭代技术,来回更新三角形重要度权重和网格纹理坐标。在计算三角形权重时,将三角形的面积分转化成三角形边上的线积分,使算法效率得到了提升；在求解纹理坐标时,采用"L-M" (Levenberg-Marquardt)非线性最小二乘优化器,用雅可比矩阵近似构造海森矩阵并在迭代中进行修正使之保持正定,以保证迭代顺利进行。该方法比起传统的纹理映射方法表现出较好的性能,尤其能有效地保持纹理中重要内容的形状。·提出了一种针对局部防翻转映射的重网格化辅助的优化算法。现有的局部防翻转映射算法大多在固定的离散域上求解几何问题,而忽略了网格的离散化因素的影响,进而可能导致因解空间过小带来一系列数值问题,如收敛慢、找不到满意解甚至无解。本文把表示网格离散化的基函数引入几何优化器中用于解决映射的局部防翻转问题,将自适应重网格化技术集成到基于内点法的优化算法中,以扩大解空间并加快收敛速度。算法采用“内层-外层”双层迭代的思路。在内层迭代中,交替地进行几何优化与拓扑优化：采用基于无参数松弛法的几何优化方法更新顶点坐标位置,随后运用利于算法收敛的拓扑修改准则进行局部翻边操作实现拓扑优化。此外,通过增加一个外层循环以提高算法的鲁棒性,即当上述迭代结束而位置约束尚未满足时,利用当前优化器所提供的收敛信息,搜索出可能阻碍网格顶点前进的网格边,并对其相关邻边进行细分操作并继续优化。该方法比之于传统的纯几何优化方法,在算法的收敛性、映射的形变误差、算法效率等方面均具有更好的性能,尤其对于一些极端大变形的例子其优势更为明显。·提出了一种伸缩形变最小化的体参数化方法。大多数体参数化方法均未考虑局部翻转问题,对后续的几何处理造成各种困难。而最近出现的带局部防翻的体参数化方法仅考虑角度形变误差,可能存在较大的体积形变误差。本文将曲面参数化中常用的伸缩形变能量扩展到三维,推导了三维版本的伸缩形变能量,并将其应用于带边界点位置约束的体参数化中。该能量函数继承了二维伸缩形变能量的特点,隐含了一个天然的“障碍函数”项,无需像其它方法采用额外的能量或约束描述局部防翻转条件。在优化求解时,不同于曲面参数化方法,即对网格的每个顶点进行独立优化,提出一个带松弛的求解器对定义在体域上的伸缩形变能量总和进行整体优化。相比于其它体参数化方法,该方法具有拉伸量最小化方法的优点,能够有效地防止网格单元发生塌缩或翻转,并且在保角与保体积方面做到了较好的平衡。