噪声背景中的谐波参数估计问题(通常称之为谐波恢复)是现代信号处理领域中的一个典型问题,同时也是统计信号处理研究的一个重要内容。它在雷达、水声学、光物理、光化学、地球物理、图像处理、无线通信、生物医学、核磁共振、阵列信号处理以及射电天文学等众多领域得到了广泛的应用,而且最近的研究结果表明,它也是机器人设计以及柔性空间结构控制的基础。这个问题依据信号的维数可分为一维谐波参数估计和二维谐波参数估计。依据背景噪声的复杂程度又可以分为两大类:第一类是加性噪声中的谐波参数估计(此时的谐波信号仅被加性噪声干扰),第二类是加性和乘性噪声中的谐波参数估计(此时的谐波信号具有随机振幅且被加性噪声干扰,简称为乘性噪声中的谐波参数估计),其中第二类问题是第一类问题的推广。迄今为止的大部分研究工作集中于讨论加性噪声中的一维及二维谐波参数估计问题,但是在实际应用中,经常出现复杂噪声背景中的谐波信号。例如:在水声信号处理中,乘性噪声可以描述由媒质、流向变化和目标散射弓I起的随机波动对声波的影响。因此将这一类型的观测数据建模为加性和乘性噪声中的谐波模型具有更实际的意义,由此进行的信号模型的分析与求解能更充分地提取数据所含的信息。　　 非线性最小二乘方法(Non-linearLeastSquaresEstimation,简称LSE)在谐波参数估计中占有举足轻重的地位,与其有关的研究包括两大部分,其一是理论,其二是算法。早在1971年和1973年,Walker和Hannah就基于LSE的谐波参数估计方法的理论进行了初步探讨,之后Rao、Kundu、Stoica、Francos以及Ghogho等针对不同的噪声假设对其进行了进一步的深入研究,得到了很多经典的统计结论,包括强相合性、强收敛速度以及渐近正态性等。众所周之,参数估计的Cramer-Rao(CR)界是评价估计量好坏的一个重要指标,文献指出:当加性模型中的噪声为高斯白噪时,LSE方法与最大似然方法等价且均可以达到CR界,而当噪声为非高斯白噪或有色噪声时,LSE方法也能达到渐近的高斯CR界。由于LSE方法在理论上具有上述优良的统计性能,因而其成为了谐波参数估计中的一个经典方法,进而涌现出了大量的基于LSE的估计算法,包括迭代算法以及随机搜索算法。然而,到目前为止,在谐波参数估计中有关LSE方法的理论以及算法主要集中于加性噪声模型,很少讨论乘性噪声模型。综上所述,乘性噪声情形下谐波模型的基于LSE的参数估计方法的理论及其算法具有重要的研究价值,鉴于理论是算法的基础,本文的主要目的是从理论上系统研究多种乘性噪声情形下一维及二维谐波参数估计的LSE方法及其统计性能,以便为进一步的基于LSE的迭代或随机搜索算法的研究提供理论基础。　　 本文的主要工作可概括为如下三个方面　　 一、基于LSE的乘性噪声中谐波参数估计量的提出　　 (1)针对非零均值实乘性噪声中一维多分量谐波模型,参考加性噪声中一维多分量谐波参数估计的LSE方法,通过最小化观测数据与其内在谐波成分之间的误差,提出了关于频率、相位以及乘性噪声均值的LSE估计量,基于此LSE估计量,进而提出了关于乘性噪声方差、总噪声方差以及加性噪声方差的估计量,最后将上述估计量推广到了二维多分量非零均值实乘性噪声中的谐波模型;(2)针对零均值实乘性噪声中一维多分量谐波模型,参考实乘性中一维单分量谐波参数估计的LSE方法,通过最小化观测数据的平方与其内在谐波成分之间的误差,提出了关于频率、相位以及乘性噪声方差的LSE估计量,基于此LSE估计量,进而提出了关于总噪声方差以及加性噪声方差的估计量,最后将上述估计量推广到了二维多分量零均值实乘性噪声中的谐波模型;(3)针对非零均值复乘性噪声中一维多分量谐波模型,采用实乘性时的类似方法,提出了关于频率以及乘性噪声均值的实部与虚部的LSE估计量,基于此LSE估计量,进而提出了关于乘性噪声方差、总噪声方差以及加性噪声方差的估计量。　　 二、基于LSE的乘性噪声中谐波参数估计量的统计性能分析及结论的对比分析　　 通过对本文中针对各种乘性噪声中的谐波模型所提出的基于LSE的参数估计方法进行统计性能分析,从理论上证明了所有估计量的强相合性以及渐近正态性,得到了所有估计量的渐近方差表达式,同时还得到并证明了针对谐波频率参数的LSE估计量的强收敛速度。　　 另外,本文从理论上对比分析了乘性噪声中的谐波模型与加性噪声中的谐波模型之间以及不同类型的乘性噪声中的谐波模型之间的基于LSE的参数估计方法的统计结论,包括如下三个方面:(一)通过对比本文中关于一维及二维非零均值乘性噪声中的谐波模型参数估计的结论与文献中关于加性模型的对应结论可以得出以下结论;(1)当乘性模型退化为加性模型时,所有对应的结论均相互吻合,此时谐波参数估计量的方差均能达到渐近的CR界;(2)乘性噪声的出现并未影响谐波参数LSE估计量的强相合性,也不影响谐波频率参数LsE估计量的强收敛速度;(3)乘性噪声的出现在一定程度上增大了谐波频率、相位以及振幅参数LSE估计量的方差,即乘性噪声的出现在一定程度上影响了谐波频率、相位以及振幅参数LSE估计方法的估计精度。(二)通过对比本文中关于一维及二维零均值实乘性噪声中谐波参数估计的结论与本文中关于一维及二维非零均值实乘性噪声中的谐波模型的对应结论可以得出以下结论:(1)针对零均值情形的平方数据方法并未影响谐波参数LSE估计量的强相合性,也不影响谐波频率参数LSE估计量的强收敛速度;(2)针对零均值情形的平方数据方法在一定程度上增大了谐波频率及相位参数LSE估计量的方差,即平方数据方法在一定程度上影响了谐波频率及相位参数LSE估计方法的估计精度;(3)针对零均值情形下总噪声方差的估计量与针对非零均值情形下总噪声方差的估计量具有相同的方差,即具有相同的估计精度。(三)通过对比乘性噪声中的二维谐波模型的结论与乘性噪声中的一维谐波模型的对应结论可以得出以下结论:(1)维数的变化并不影响谐波参数LSE估计量的强相合性,同时也不影响谐波频率参数LSE估计量的强收敛速度;(2)维数的增加对谐波频率及振幅参数LSE估计量的方差均未有影响,但谐波相位参数LSE估计量的方差随维数的增加而有所增大,即维数的变化一定程度上影响了谐波相位参数LSE估计方法的估计精度;(3)维数的变化对所有噪声方差参数的估计方差均未有影响,即维数的变化不会影响噪声方差参数的估计精度。　　 三、基于LSE的乘性噪声中谐波参数估计方法的可行性分析　　 对本文所提出的基于LSE的乘性噪声中谐波参数估计方法进行实际操作时,需要最小化观测数据或观测数据的平方与其内在谐波成分之间的误差,由于此误差函数(即LSE目标函数)的高度非线性性,本文提出了如下的复合型随机搜索算法来解决此非线性优化问题:首先,采用遗传算法在给定的整个参数空间做全局搜索,得到参数的初估计;然后,再采用Nelder-Mead单纯型算法在初估计邻域内做局部搜索,得到参数最终的精估计。最后,本文通过大量的仿真实验验证了本文所提出的基于LSE的乘性噪声中谐波参数估计方法的可行性,同时也验证了所得到的渐近理论在小样本情形下的有效性。　　 本论文的创新点主要体现在以下三个方面　　 (1)将一维加性中的LSE方法推广到一维非零均值乘性噪声情形,进而推广到二维非零均值乘性噪声情形;将单分量一维零均值乘性中的LSE方法推广到多分量一维零均值乘性噪声情形,进而推广到多分量二维零均值乘性噪声情形。　　 (2)从理论上获得了所有考虑的模型中针对谐波参数的所有的估计量的强相合性和渐近正态性的结论以及针对谐波频率参数的LSE的强收敛速度的结论,为进一步的基于LSE的迭代或随机搜索的算法研究提供了理论基础。　　 (3)讨论了复值乘性噪声情形下的谐波新模型中的LSE方法,并分析了估计量的统计性能,得到了强相合性与渐近正态性等统计结论。　　 本论文共分为七章　　 第一章介绍了复杂噪声背景中的一维和二维谐波参数估计的研究背景及意义,综述了此问题的发展历程及研究现状,讨论了现阶段研究存在的主要问题,由此明确了本文的研究内容,并阐述了论文选题的理论意义及其应用价值。　　 第二章介绍了与本论文相关的基础知识,包括概率极限基本理论、加性噪声中谐波参数估计的LSE方法及其统计性能分析以及加性噪声中谐波参数估计的CR界的相关结论。本章为本论文的研究工作提供了合适的理论工具。　　 第三章研究了多分量一维非零均值乘性噪声中谐波参数估计的LSE方法。针对实值乘性噪声模型,提出了关于频率、相位以及乘性噪声均值的LSE方法以及关于乘性噪声方差、总噪声方差以及加性噪声方差的基于LSE的估计方法;针对复值乘性噪声模型,提出了关于频率以及乘性噪声均值的实部与虚部的LSE方法以及关于总噪声方差的基于LSE的估计方法;通过对所提出的估计量的统计性能进行分析,从理论上证明了所有估计量的强相合性以及渐近正态性,同时也得到了针对谐波频率参数的LSE的强收敛速度:最后,仿真实验结果验证了在小样本情形下所提方法的可行性以及所得到的渐近理论的有效性。第四章研究了多分量一维零均值实乘性噪声中谐波参数估计的LSE方法。提出了针对频率、相位以及乘性噪声方差的LSE方法以及针对总噪声方差以及加性噪声方差的基于LSE的估计方法;通过对所提出的估计量的统计性能进行分析,从理论上证明了所有估计量的强相合性以及渐近正态性,同时也得到了针对谐波频率参数的LSE的强收敛速度;最后,仿真实验结果验证了在小样本情形下所提方法的可行性以及所得到的渐近理论的有效性。　　 第五章研究了多分量二维非零均值实乘性噪声中谐波参数估计的LSE方法。提出了针对频率、相位以及乘性噪声均值的LSE方法以及针对乘性噪声方差、总噪声方差以及加性噪声方差的基于LSE的估计方法;通过对所提出的估计量的统计性能进行分析,从理论上证明了所有估计量的强相合性以及渐近正态性,同时也得到了针对谐波频率参数的LSE的强收敛速度;最后,仿真实验结果验证了在小样本情形下所提方法的可行性以及所得到的渐近理论的有效性。　　 第六章研究了多分量二维零均值实乘性噪声中谐波参数估计的LSE方法。提出了针对频率、相位以及乘性噪声方差的LSE方法以及针对总噪声方差及加性噪声方差的基于LSE的估计方法;通过对所提出的估计量的统计性能进行分析,从理论上证明了所有估计量的强相合性以及渐近正态性,同时也得到了针对谐波频率参数的LSE的强收敛速度;最后,仿真实验结果验证了在小样本情形下所提方法的可行性以及所得到的渐近理论的有效性。　　 第七章对全文进行了总结,同时指出了几个与本论文直接相关并有待继续深入研究的问题。