期权作为一种套期保值的重要金融工具,能够有效地规避风险,指导市场参与者进行投资,在欧美国家一直深受欢迎.近年来,随着金融市场的不断完善,以及人们对金融风险的控制需求,使得期权在中国市场也得到了一定的发展,各种类型的期权产品应市场参与者的需求而产生,成为金融市场交易的主要产品.与欧式期权相比,美式期权具有更大的灵活性,期权持有者可以在有效期内的任何时间,根据市场价格的变化和本身的实际需要灵活而主动地选择履约时间,因此美式期权更受关注.美式期权由于具有可提前实施的特点,且其价格随市场供求关系而改变,如何选择最佳实施时刻,以及给出合理的期权价格,将直接影响买卖双方的盈亏状况,这使得美式期权最佳实施边界的确定和定价问题成为期权交易的核心问题.本文主要针对几类美式期权的定价问题,进行了系统而深入的研究.以美式看跌期权为例,从标准美式期权入手,由简入繁,逐步研究几类更复杂的期权.分析各类期权的求解难点,提出有效的解决途径,进而设计出快速高效的数值方法.本论文主要分为以下四部分:1.美式期权的概述第一部分我们简要地回顾了期权的发展历史和分类方式,并以美式看跌期权为例,重温了Black和Scholes的重要工作,包括经典的Black-Scholes模型满足的前提假设、模型的建立及欧式期权定价公式的推导过程.进一步,针对几类典型的美式期权定价问题进行研究,总结了该问题的研究现状.在这部分的最后,简要介绍了本文的主要工作.2.标准美式期权定价问题在第二章中,主要从标准美式期权满足的自由边界问题出发,构造了一种有效的、快速的、实用的数值方法.由于标准美式期权存在看涨–看跌期权平价公式,因此我们只考虑美式看跌期权的定价问题,其价格V(S,t)满足的自由边界问题为:其中B(t)为最佳实施边界,σ,r,q,K和T分别表示标的资产价格S的波动率、无风险利率、红利率、敲定价格和合约的到期日.本章对模型(1)现有的研究成果做了一个简短的综述,系统地分析了数值求解该问题的本质困难,并针对求解难点,提出了行之有效的处理方案,具体分为两部分:(a)模型(1)的空间求解区域左边界B(t)是一条未知曲线,右边界为正无穷,即求解区域既不规则又无界.幸运的是front-fixing变换能够较好的解决左边界问题,将求解区域由一个曲边区域转化为半无穷规则区域.对于无界区域的处理,本文将应用完全匹配层(PML)技巧进行截断,它是一种有效的截断方法,不仅能使截断求解区域相对较小,达到降低计算量的目的,还能够减小数值反射,保证计算精度.至此,我们将模型(1)的求解区域化成了有界规则区域.(b)定价模型中的最佳实施边界B(t)和期权价格V(S,t)都是未知的,且二者之间存在依赖关系,如何求解这个耦合系统成为算法是否成功的关键.受前人工作的启发,我们首先利用有限体积法对简化后的问题进行离散,然后采用Newton法交替迭代同时得到期权价格和最佳实施边界(具体算法参见第二章).(c)数值模拟验证了算法的正确性和有效性.3.回望期权定价问题第三部分由论文的第三章和第四章组成.这一部分主要研究回望期权.与标准美式期权相比,回望期权更为复杂,这类期权在到期日的收益不仅依赖于标的资产当日的价格,还与在期权整个(或部分)有效期内标的资产价格的最大值或最小值密切相关.本文主要针对美式回望看跌期权的定价问题进行研究,对于看涨情形可利用类似技巧进行处理.与标准期权定价模型相同,美式回望期权满足的定价模型同样有两种形式:自由边界问题和线性互补问题.这部分的主要工作就是针对定价模型的两种不同表述形式,分别提出快速有效的数值方法,具体步骤如下:?第三章将从美式回望期权满足的自由边界问题出发,构造数值算法.我们介绍美式回望看跌期权价格V(S,G,t)满足的自由边界问题:其中未知函数B(t)是期权的最佳实施边界,σ,r,q和T分别表示标的资产价格S的波动率、无风险利率、红利率以及期权的到期日.Gt:=max0≤τ≤t Sτ是一个依赖路径变量,利用方程描述定价模型时,将其视为独立变量,简记成G.通过观察和分析回望期权定价模型(2),我们发现数值求解该模型的困难在于:(I)定价模型的空间求解区域为二维无界不规则区域(由S=B(t)和S=G围成的区域);(II)最佳实施边界B(t)未知,且与期权价格V(S,G,t)存在依赖关系.针对上述的求解难点,我们给出了相应的处理技巧:首先,我们通过改变计价单位,将定价问题降维,化成一维有界区间上的自由边界问题,进一步,利用Landau变换将曲边区域规则化成[0,1]区间.这样,原定价模型就转化成了[0,1]区间上的非线性抛物问题.接下来,我们针对[0,1]区间上的非线性抛物问题设计算法,同时求解出B(t)和V(S,G,t).与标准美式期权的求解方法类似,我们采用有限体积法离散简化后的问题,然后利用Newton法交替迭代求解离散系统(具体算法参见第三章).最后,通过数值实验验证了本文所提算法的实用性和有效性.?第四章主要针对美式回望期权满足的线性互补问题进行研究,提出更高效快速的求解方法.期权价格V(S,G,t)满足的线性互补问题为:其中本章的工作主要从以下几个方面展开:(a)采用与自由边界问题相同的技巧,改变计价单位,将定价模型化为一维无界区间上的线性互补问题.(b)利用最佳实施边界的已知信息截断求解区域,给出精确的边值条件.通过详细的讨论,得到一维有界区间上的线性互补问题对应的变分不等式.需要强调,为了保证变分形式的对称正定性质,在推导过程中,我们采用了一些有技巧性的变换吸收了问题的一阶项.(c)采用有限元方法离散得到的变分不等式,并利用投影收缩算法加速求解离散后的系统.此外,我们对离散矩阵的对称正定性也进行了严格的证明(具体算法参见第四章).(d)数值模拟充分验证了投影收缩算法在计算速度上的优势.4.多资产期权的定价问题在第五章中,我们主要对美式多资产期权定价问题进行了系统的研究.多资产期权是一种特殊的奇异期权,它是多种标的资产期权的投资组合,可起到不同于单资产期权的套期保值效果.与标准美式期权相比,多资产期权的定价模型是一个高维自由边界问题或线性互补问题,更难求解.本章将以美式看跌期权为例研究多资产期权的定价问题,设计出高效的数值算法.为讨论方便,我们仅考虑两种标的资产的情形,一般情形可以类推.设美式多资产看跌期权价格V(S1,S2,t)满足其中定价模型(4)是一个二维无界区域上的抛物型线性互补问题,在数值求解该问题时,我们将会遇到以下困难:(I)空间求解区域为二维无界区域,难以直接应用数值算法;(II)提出合理的算法求解线性互补问题,得到期权价格V(S1,S2,t).对于前者,我们采用完全匹配层(PML)技巧进行处理,该方法是一种对无界域问题截断的有效方法.它是在求解区域的截断处添加一个非反射的吸收层,减弱数值反射的影响,进而保证计算精度.对于后者,我们通过引入惩罚项的方法将线性互补问题化为一个非线性抛物问题.进一步,构造了一种半隐半显有限元方法(对于非线性项采用显式形式,其他项用隐格式)求解该问题(具体算法参见第五章).为了说明所提算法的有效性,本文也做了一些重要的理论分析和数值模拟,主要包括:对半隐半显有限元方法给出了收敛性分析;并对数值解的非负性给出了一个简单的证明;通过将远场估计(FFE)方法与PML技巧进行对比,验证了PML技巧的有效性.综上所述,本文主要基于Black-Scholes模型,研究了几类有代表性的美式期权定价问题的数值方法,从理论上证明了算法的收敛性和解的非负性,从数值上验证了本文所提算法的正确性、有效性和实用性.