准晶是一种近二十年来新兴的固体结构和新材料。与经典的一般的晶体的弹性问题相比,准晶的弹性问题要复杂的多,这是由于准晶弹性问题的刻画相比一般的晶体,不仅有描写晶格振动的声子场,还有刻画原子准周期排列的相位子场。在一维准晶中,由于一维六方准晶结构相对简单,成为研究者的首选.正方准晶结构更复杂,弹性常数更多,故其弹性问题相对一维六方准晶有本质的难度,本文利用了广义复变方法研究了一维正方准晶的弹性问题,主要分为两部分:1利用复变方法,引入广义保角映射,研究了一维正方准晶中具有椭圆孔口的平面弹性问题,给出了各应力分量的复变表示,并在特殊情况下转化为Griffith裂纹,得到该裂纹尖端处的应力强度因子的解析解.当准晶体的对称性增加时,正方准晶椭圆孔口平面弹性问题退化为一维四方准晶中具有椭圆孔口的平面弹性问题,同样在特殊情况下转化为Griffith裂纹,得到裂纹尖端处的应力强度因子的解析解.该部分内容主要体现在第二章。2利用广义复变方法,研究了一维正方准晶平行于准周期方向的直位错的平面弹性问题,得到了一维正方准晶中两个平行的无限长直位错间的相互作用力的解析表达式.该部分内容主要体现在第三章。