在本文中，我们研究了拟共形映射的几何性质及Riemann流形上的最优化问题，同时，也给出了拟共形映射在Teichmüller空间的一些应用。本文分五章： 在第一章中，我们从拟共形映射理论、Teichmüller空间理论以及优化理论的历史发展及应用出发，阐述本文研究课题的背景、意义。在这一章中，我们也讲述了我们的主要研究内容。 在第二章中，我们研究了单位圆盘之间同胚映射的Schwarz型定理。我们推广了全纯映射的Schwarz引理，得到了拟共形映射在一定面积偏差条件下的Schwarz型定理，以及保向同胚映射在一定模条件及原点规范条件下的Schwarz型定理。 在第三章中，我们研究了单位圆周之间的同胚映射到单位圆盘的自然共形扩张。我们首先由两个已知的扩张F1，F2构造了一族带参数的共形自然扩张Dη，讨论了这族扩张的性质，还给出了它是全局同胚的充分条件。其次我们由Douady—Earle扩张定义了一个逆扩张，得到了跟Douady-Earle扩张类似的一些好的性质，但逆扩张与Douady-Earle扩张并不总是一样的。 在第四章中，我们利用第三章定义的第二个扩张一逆扩张给出渐进Bers映射是渐近Teichmüller空间到渐近全纯二次微分空间的嵌入映射的另一证明。 在第五章中，我们研究了Riemann流形上的最优化理论问题。我们定义了完备Riemann流形上的一个变分不等式，得到了它与优化问题等价的充要条件；还给出了解的存在性和唯一性的条件；最后研究了一定条件下解及解集的性质。