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城市化是人类社会的重要进程。一方面,城市化能带给我们高收入、更好的医疗、健康、教育服务。另一方面,城市化也带来了交通拥堵、环境污染、犯罪率上升、不均等的机会等等。城市化带给了我们前所未有的挑战,因此在提高人类生活水平和维持地球资源之间找到一个平衡点很有必要。而城市是城市化的“坩埚”,以一种可预测的和定量的方式理解城市动态变化、增长和演变,对城市化过程中的格局与过程进行定量的分析和预测很有意义。在城市科学的研究中,幂律分布和异速增长的研究都是具有里程碑意义的研究成果。从理论上来说,城市幂律分布和异速增长的研究对于更好的理解城市结构、增长和演变具有重要意义,从实际应用来说,可以为城市规划和城市可持续发展提供建议。本文以城市人口密度为例,通过离散数据连续化、等距化和分组处理等预处理,运用非线性最小二乘法和LM迭代算法对人口密度与面积进行拟合建立城市内部结构的幂律分布,同时运用调整的可决系数R2、赤池信息准则AIC和贝叶斯信息准则BIC对模型进行拟合优度检验,运用F检验对模型进行显著性检验,并详细阐述该幂律分布的内涵;同时,观测这种幂律分布随着城市大小的动态变化,并建立幂律分布的动态模型。最后在幂律分布和动态的基础上,通过模拟的方法阐明幂律分布与异速增长的关系,从而解释人口与面积异速增长的机制问题。这种从实际数据出发的方法有效避免了以往模型强假设与现实存在差距的不足。人口与面积异速增长关系的研究对于城市其他方面的异速增长关系以及生物学上的异速增长研究有着重要的借鉴意义。本文的主要结论如下:(1)城市人口密度与面积的幂律分布填补了城市分布在城市内部的空白。该分布属于三参数的幂函数形式,也就是本文所运用的Bleasdale-Nelder分布(y=(a+bx)-1/c),有效避免了城市规模分布中幂律分布(两个参数幂律分布,即y=axb)出现的断点问题。三参数的Bleasdale-Nelder幂律分布充分说明了城市系统内部各组分单元之间差异化程度状况,表征了城市系统内部结构的异质性。(2)城市人口密度与面积的幂律分布动态变化属于横向的变化,弥补了城市幂律分布动态变化在横向上的不足。随着城市面积的增大,无论是原始数据,拟合曲线,还是模型曲线都有明显的攀升趋势。Bleasdale-Nelder分布模型的参数a、b、c与面积的分布均符合幂律的形式,a值随着城市面积增大呈现不断减小的趋势。b值和c值随着城市面积增大不断减小的趋势。线性分布的系数A与面积的分布符合二次多项式分布的形式,线性分布的系数B与面积的分布符合三次多项式分布的形式。从人口密度边界的动态变化来看,边界的最小值和最大值都随着面积的增大保持常量。人口密度最大值与城市面积符合二次多项式分布。从变化趋势来看,人口密度最大值随着城市面积的增大呈现出逐渐增大的趋势。Gibrat模拟的动态变化表明,无论在城市发展的哪个阶段,面积的变化率随着初始面积的增大呈现先较少后增大的趋势,与Gibrat得出的结论是一致。西蒙模拟的动态变化表明,无论在城市发展的哪个阶段,面积均值的动态变化率都是随着初始面积的增大先是迅速增大再缓慢增大的趋势,这个结论与西蒙得出的结论是一致的。(3)人口密度和面积的分布关系决定了人口与面积之间的异速增长。(4)不同的人口密度与面积的分布参数的变化会导致人口与面积异速增长系数和指数的变化。具体来说,人口密度与面积的异质性分布、人口密度与人口的异质性分布和密度最大值随城市面积产生的系统性变化共同导致了人口与面积之间的异速增长。