三维形状变形是计算机图形学与几何处理中一个经典的问题,被广泛的用于计算机动画、物理仿真以及几何建模等领域。形状变形问题等价于在形变空间中寻找具有优良性质的映射以满足用户在不同场景应用中的要求。其中,寻找满足低扭曲、光滑性好、局部无翻转以及可实时计算这些特性的形变算法,已经成为当下该问题的研究热点。但是在现有的三维体形变算法中,尚未有算法能够同时兼顾以上的要求。线性混合蒙皮和基于重心坐标的方法,使用了预计算基函数,并且将形变表述为这些基函数通过系数的线性组合。这类算法简单并且计算速度非常快,但是无法控制形状的失真程度,在大扭曲形变下结果质量较差。基于四面体网格的形变方法是另一种广受欢迎的算法。该方法假设映射是C0的,并且在每个四面体上呈线性,通过优化度量映射质量的几何能量函数获得形变结果。此方法提高了形变的质量,但由于映射是C0的,因此降低了光滑性。此外,对于具有很多几何特性的复杂模型,其四面体网格往往具有很高的自由度,在求解优化问题中时空复杂度较高。本文围绕着无网格形变方法进行了一系列的研究。无网格映射通常是由一组光滑的基函数生成,因此无网格映射是光滑性很好的映射。无网格形变依赖于连续的基函数,而连续基函数通常是通过包围盒以及广义重心坐标来生成。包围盒的质量往往决定了基函数对原始模型的控制程度,在不同应用下对包围盒的质量也有不同的要求。在以往的工作中,包围盒是由艺术家使用工业软件手工设计,其过程非常繁琐。手工设计的包围盒对质量没有很好的保证,同时也不利于工业化批量生产。现有的自动化生成包围盒算法均不够鲁棒,无法对复杂多样的模型生成较好的包围盒。因此本文首先研究了如何鲁棒地生成包围盒这个问题。对于任意输入网格,本文通过修改其符号距离场,在网格外部提取出与网格拓扑同胚的等值面。通过求解带约束的二次问题简化该等值面,得到了严格包含输入原始模型并且没有自相交的包围盒。最后针对不同的应用要求优化包围盒的顶点位置以及拓扑连接,提升了输出包围盒的质量。通过大量实验,证明了该方法对于任意复杂形状的模型都是鲁棒有效的。随后本文研究了无网格形变的局部单射性,提出了一个通用的优化理论可用于生成保持局部单射性的无网格形变。不同于基于网格的方法需要限制每个四面体上的映射以达到局部单射,本方法通过在一个采样集上施加约束以达到局部单射性。这个问题最大的挑战在于如何保证整个形变域中都是局部单射,而不是仅仅保证采样点上满足该性质。本文利用光滑基函数的李普希茨连续性以达到这个目的。本方法最大的贡献在于给出了一种不需要显式计算三维映射雅可比矩阵最小奇异值而能直接估算其李普希茨常数的方法,并根据所计算的李普希茨常数提出了一个验证映射局部单射性的条件。在基于无网格形变的框架下,本文采用了具有形状感知的调和基函数以提升形变质量。本文首先从理论上分析了二维和三维调和映射的区别,发现为了保证局部单射性,在三维情况下采样点数将为二维情况下采样点数的立方倍。因此,如何在保证形变质量的情况下尽可能地降低采样密度以达到三维实时形变的目的成为了一个必须克服的问题。而李普希茨常数的大小决定了采样点对其周围区域的控制度,一个较小的李普希茨常数可以达到降低采样密度的效果。本文为三维调和映射雅可比矩阵的奇异值的李普希茨常数推导了一个紧致的上界,再通过谱分析方法找到了光滑的特征函数和设计了一个额外的光滑能量项,得到光滑调和映射子空间,进一步降低了李普希茨常数。最终本文的方法可以在非常稀疏的采样点集上实现了局部单射的调和映射形变。结合高效的GPU实现,本方法在保证形变效果的同时达到了和二维情况相当的实时运行速度。