微分算子的谱理论不仅是算子理论不可或缺的重要组成部分，也是分析学的主要研究对象.现代量子力学和物理学中的诸多数学问题到最后都被划分到线性空间中的算子问题上来，因而算子理论不光是解决部分数学问题的理论依据，同样也是应用科学的重要支柱.许多中外优秀的数学工作者对微分算子领域不断拓展，使得微分算子理论在二十世纪五六十年代迅速崛起并形成一套完整的理论体系.当然在发展的同时，随之而来也产生了许多新的问题.　　英国M.S.P. Eastham对具有周期实系数的二阶Sturm-Liouville微分算子（即Hill算子）作了全面的总结和归纳，给出了Hill算子是自伴算子，其谱为纯连续谱，且在谱中存在间隙，这些间隙即为对应Hill方程的不稳定区间，因而该自伴算子的谱是由实轴上的一些闭区间的并集构成的.依据M.S.P.Eastham的研究理论，国内对具有周期复系数的二阶Sturm-Liouville微分算子采用类似的方法进行探究，得到此类微分算子是J-自伴算子，其谱也为纯连续谱，且绝大部分是由复平面上的解析弧段构成的.这里，不得不猜想：推广到高阶的情形是否仍然有类似的结论成立呢？答案是肯定的.本文将对此进行详细的论证.　　本文主要分成四个部分：第一章为绪论，介绍了微分算子谱理论的发展进程以及本文的主要研究目的、预期结果和现实意义；第二章为预备知识，给出了一些研究过程当中需要用到的概念、定理和结论，包括Floquet理论，具有周期系数的2n阶微分方程的解的结构等知识；第三章和第四章是全文的核心章节，第三章分三节依次介绍了2n具有周期实系数的阶对称微分算子L是本质自伴算子;L的谱为纯连续谱；L的谱的分布情况.第四章以同样的结构分别介绍了具有周期复系数的2n阶J-对称微分算子T是本质J-自伴算子；T的谱也为纯连续谱；T的谱的分布情况.