【摘 要】
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有限域上的多项式方程组与其对应的仿射簇之间的对应关系有很重要的研究意义.本文中将推广的希尔伯特零点定理就是代数几何之间关系的一个重要桥梁。有限域上的坐标环在编码
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有限域上的多项式方程组与其对应的仿射簇之间的对应关系有很重要的研究意义.本文中将推广的希尔伯特零点定理就是代数几何之间关系的一个重要桥梁。有限域上的坐标环在编码理论等许多方面有举足轻重的作用.对应的坐标环上的多项式方程组的三角分解及零点定理也有很多理论研究意义和实际应用价值.在有限域上的坐标环理论中,中的任意非空点集都是仿射簇.本文以有限域上特有的性质作为出发点,并以多项式函数为研究对象,探讨了以下几方面的内容:首先探讨了有限域上坐标环的性质,将Hilbert零点定理从特征为0的域中推广到有限域中,且得到有限域上的坐标环上的零点定理,以及相关的一些性质和应用.接着借助于多项式环上的任何一个理想的仿射簇都可以与由一个多项式生成的仿射簇表示的现有的证明思想,我们给出了坐标环上任何一个理想的仿射簇都可以与由一个多项式函数单一表示的构造性的证明.主要证明思想是运用不可约多项式与其齐次化后的性质构造出满足相应条件的多项式与多项式函数.此外运用有限域的特有的性质给出满足上述条件的多项式函数的另一种方法,并给出相应的算法说明与Maple实现.最后对有限域上坐标环上的三角零点分解做了一些理论的推广,并且给严格下降的三角列的长度界定了一个较优的上界.在特征为0的多项式环上多项式方程组的三角分解算法的基础上,还给出了坐标环上多项式函数组的零点分解算法,并给出相应的实例说明.
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