【摘 要】
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函数空间上的算子理论是泛函分析一个的重要分支,它与量子力学、概率论、信息和控制论等领域都有着密切之联系.过去的数十年间,对相关函数空间上的Toeplitz算子之研究亦如雨后春笋般开枝散叶,成果颇为丰富.本文主要集中研究两个问题:第一个问题,我们主要探究的是调和Bergman空间上Toeplitz算子与调和Bergman空间正交补上对偶Toeplitz算子的亚正规性质;第二个问题,主要研究的是模型空
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函数空间上的算子理论是泛函分析一个的重要分支,它与量子力学、概率论、信息和控制论等领域都有着密切之联系.过去的数十年间,对相关函数空间上的Toeplitz算子之研究亦如雨后春笋般开枝散叶,成果颇为丰富.本文主要集中研究两个问题:第一个问题,我们主要探究的是调和Bergman空间上Toeplitz算子与调和Bergman空间正交补上对偶Toeplitz算子的亚正规性质;第二个问题,主要研究的是模型空间正交补上的对偶截断Toeplitz算子的本质（半）交换性。全篇共分为六章,下面将简要介绍每一章的主要内容.第一章,绪论.本章内容主要介绍一些研究背景和发展现状,并且陈述本文的主要研究内容与结果.除此之外,在此章中,我们将介绍全文的一些定义及记号.第二章,我们将要介绍调和Bergman空间上的Toeplitz算子.第一部分,我们将要介绍调和Bergman空间上的Teoplitz算子.众所周知,在Bergman空间上正规算子一定是亚正规的,但亚正规的Toeplitz算子却不一定是正规算子.幸运的是,在调和Bergman空间上,由于调和Bergman投影的特殊性,Toeplitz算子的亚正规性与正规性是等价的.于是,关于调和Bergman空间上调和函数符号的Toeplitz算子的亚正规性质,我们便直接可以从已有的正规性的结论中得到.因此,此章主要介绍非调和函数符号的Toeplitz算子的（亚）正规性质.第二部分,我们探究调和Bergman空间上Toeplitz算子的Weyl谱,并研究相应的Weyl定理.第三章,我们将要研究调和Bergman空间正交补空间上的对偶Toeplitz算子.这一类算子的研究,目前所能知晓的文献并不太多.与第二章的目的一致,我们希望探索其亚正规性质.同样幸运的是,（7）h~2L（8）?上的对偶Toeplitz算子的正规性与亚正规性等价.关于调和Bergman空间正交补空间上调和函数符号的对偶Toeplitz算子的正规性,之前已有学者研究,因此我们将会考虑符号是非调和函数的情形.第四章,我们将介绍模型空间的正交补空间以及该空间上的对偶截断Toeplitz算子.对偶截断Toeplitz算子虽是近两年才新引入的概念,但是类比经典Hardy空间和Bergman空间上的对偶Toeplitz算子,它的提出亦是比较自然的.另一方面,研究对偶截断Toeplitz算子也是为了更好地了解截断Toeplitz算子.而我们主要的研究手段,还是尽可能地将问题转换为经典的空间和算子加以研究.我们将会着重证明两个对偶截断Toeplitz算子的半交换性以及交换性.第五章,我们将利用函数代数的相关理论去刻画对偶截断Toeplitz算子的本质（半）交换性质.Toeplitz算子的（半）交换性一直是算子理论中比较热门的问题,包括在Hardy空间、Bergman空间和Dirichlet空间上,都有相应的刻画.对应地,在模型空间的正交补空间上,对偶截断Toeplitz算子的（半）交换性亦有完整之刻画,于是我们继而研究其（半）换位子何时是紧算子.我们将充分利用前一章对模型空间的正交补空间之分解,将问题转换为经典Hardy空间上的Toeplitz算子和Hankel算子进行研究,使得我们可使用之工具变得愈加丰富.第六章,我们将要总结全文的主要结果,并概述尚未解决之难题以及后续问题之研究.
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