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本文包括序言和四章内容。在第一章里，我们研究非交换VNL-环及其推广。交换VNL-环的概念是Coiltessa一九八四年在研究环的PM-性时引入的，在环的谱理论中有重要应用，她称一个交换环R为VNL-环，如果对R中每个元α而言，α或1-α是正则的。Osba等人（2004，Comm.Alg.）继续研究交换的VNL-环并且引入了SVNL-环的概念，他们称一个交换环R为SVNL-环如果对R的每个非空子集S，当由S生成的理想等于R时，那么S中至少存在一个正则元。虽然Osba等人刻画了SVNL-环，但是未能给出VNL-环的刻画。而他们所已知的VNL-环都是SVNL-环，因此提出下列的公开问题：是否每一个交换的VNL-环均是SVNL-环？我们肯定地回答了上述问题。此外，我们在更广泛的背景下研究VNL-环并定义了GVNL-环和GSVNL-环的概念。一个环R被称为GVNL-环，如果对R中每个元α而言，α或1－α是π-正则的。环R被称为GsVNL-环，如果对R的每个非空子集S，当由S生成的右理想等于R时，那么S中至少存在一个π-正则元。本章的主要结果为：（1）每一个阿贝尔VNL-环都是SVNL-环。（2）每一个弱duo GVNL-环是GSVNL-环。（3）给出了duo VNL-环的刻画。（4）Osba等人证明了在一个二是单位的交换VNL-环中，每个元可写成不多于三个单位的和。我们的改进结果为：在一个二是单位的阿贝尔VNL-环（阿贝尔GVNL-环）中，每个元可写成一个单位与一个一的平方根的和。（5）Osba等人证明了如果R是只有有限个幂等元的交换VNL-环，那么R是有限个正则环和一个局部环的直积。我们将此结果改进为：如果R是只有有限个幂等元的交换（阿贝尔）VNL-环，那么R是有限个域（除环）和一个局部环的直积。
在第二章里，我们研究半阿贝尔替换环和环的π-正则性，扩展了陈焕艮（2001）的一个主要结果，Badawi（1997，Comm. Alg.）关于阿贝尔π-正则性的主要结果及Kim和Lee（2000）的主要结果，并且肯定地回答了Hong等人（2000, J. Pure Appl. Alg.）的一个公开问题。本章的主要结果为：（1）如果R是半阿贝尔替换环而P是任一素理想，则R／P是局部环。（2）对一个π-正则环R，幂零元集Nil（R）是一个理想当且仅当R／J（R）是阿贝尔的。（3）如果R是半阿贝尔π-正则环，那么Nil（R）是一个理想。此外，如果R是半阿贝尔环，那么R是π-正则的当且仅当Nil（R）是一个理想且R／Nil（R）是正则的。这一结果在Badawi的文章中是在R为阿贝尔的条件下得到的。（4）对于半阿贝右拟duo环R，下列条件等价：（a）R是强π-正则的。（b）R是π-正则的。（c）R是弱π-正则的。（d）R是右弱π-正则的。（e）对每个x∈R，存在幂等f和单位u∈R使得x＝fu＋j，其中j∈J（R）且J（R）是诣零的。而该结果是Kim和Lee在环R为阿贝尔右拟duo的条件下得出的。（5）Hong等人（2000）问：如果R是指数有界的右弱π-正则环且具有阿丁的本原分式环，R是否为π-正则环？我们给出了这个问题的肯定解答。
在第三章里，我们研究半替换环的性质和半局部环K<,1->群的一个问题，给出了该问题的否定解。我们称一个环R为半替换环，如果R／J（R）为替换环。显然，半局部环是半替换环。本章的主要结果为：（1）存在非替换环的半替换环。（2）如果R是半替换环，那么其同态象也是半替换环。（3）令P是环R上的有限生成投射模。如果R是半替换环，那么End<,R>（P）也是半替换环。（4）如果R是半替换环而e是一个幂等元，那么eRe是半替换环。（5）环R是半替换环当且仅当R［［x］］是半替换环。（6）对任何环R，R［x］永非半替换环。（7）Silvester（1981）证明了如果R是阿丁半单环且无同构于M<,2>（Z<,2）的直和项，则K<,1>（R）？U（R）。我们证明了对阿丁半单环R下列条件等价：（a）R无同构于M<,2>（Z<,2>）的直和项。（b）R无同构于M<,2>（Z<,2>）的同态象。（c）K<,1>（R）？U（R）。（8）佟老师在K<,->理论专著中问：对半局部环R，能否证明或推翻K<,1>（R）？U（R）当且仅当R无同构于M<,2>（Z<,2>）的同态象？我们给出两个反例说明当且仅当两方面均不成立。
第四章我们研究斜Armendariz环。主要结果如下：（1）Hong等人（2003，
Comm．Alg）问：令α是（交换）约化环R的一个单同态（或自同构）且R是α-斜Armendariz，R是否为α-严格的？我们证明了如果α是约化环R的一个单同态且R是α-斜Armendariz，那么R为α-严格的。从而给出了这一问题的肯定解。（2）在Hong等人（2003）的文章中定理6的证明有一个gap，我们给出了改正。上述二结果已被Comm Algebra）录用。（3）以前，所有已知的α-斜Armendariz环的例子表明R是约化环或α是单同态，我们举例说明存在α-斜Armendariz环R，其中R非约化的而且α非单同态。（4）一族新的α-斜Armendariz环的例子给出了，推广了Lee和Zhou（2004，CommAlg）中的主要结果。（5）Hong等人（2003）命题15和命题17证明了如果R是一个α-严格环，那么？。我们证明了该二命题的逆也成立。（6）Hong等人（2003）命题8证明了对于环R的单同态α，分式环R［x］/（x<2>）是α-斜Armendariz当且仅当R是α-严格的，其中（x<2>）是R［x］的由X<2>生成的理想。我们证明了对于环R的自同态α，分式环R［x］/（x）是α-斜Armendariz当且仅当R是α－严格的，其中（x）是R［x］的由x生成的理想（对任何n≥2）。我们不仅扩展了Hong等人的结果而且取消了α是环R的单同态的条件。