本文分别研究黎曼流形上修正Ricci曲率的特征值问题和椭圆型方程解的逐点梯度估计。Limoncu在2009年在文[11]中引进修正的Ricci张量Ric k，并得到特征值估计。我们利用Bochner公式和分步积分将Ricci张量的一系列结果推广到修正Ricci张量。首先，我们证明，当k1n时，Limoncu的估计是最优的；而且我们得到光滑边界的紧黎曼流形上Laplacian算子的Dirichlet问题和Neumann问题的第一非零特征值的最优估计。其次，我们主要证明，带有修正Ricci曲率的黎曼流形上特征值问题的刚性定理，即：将Deshmukh在文[21]中的定理4关于常数量曲率的条件去掉，并且将其推广到修正Ricci曲率，得到同样的结论。最后，我们知道Farina和Valdinoci在2011年在文[23]中证明了带有非负Ricci曲率的紧黎曼流形上一类半线性椭圆型方程解的逐点梯度估计，我们利用“P-函数技术”与极大值原理将他们的结果从非负Ricci曲率推广到带有非负Bakry-Emery Ricci曲率的紧黎曼流形上，得到解的最优梯度估计。