本文主要提出了一类与互补问题及多项式优化问题密切相关的长方形张量变分不等式问题,利用例外簇的概念和相关拓扑度理论,在相关长方形张量的可行域上为半正定的条件下,得到了其解集的非空紧结论。另外,给出了张量正交相似性的一些新的性质和结论。变分不等式问题是非线性分析与最优化交叉领域的重要研究课题,在许多实际领域有广泛应用,如非均匀异性板平衡问题中的最优控制、经济均衡模型等均可转化成变分不等式问题。当变分不等式的可行域为点闭凸锥时,变分不等式问题即为非线性规划中起重要作用的互补问题。2017年,Wang Y.等首次提出张量变分不等式问题,这是一类特殊的非线性变分不等式问题。针对在非空闭凸集上为正定的正方形张量,Wang Y.等给出了解的存在性定理。正如长方形矩阵一样,长方形张量是一类比正方形张量更一般的张量,其应用更为广泛。例如,在分类组合投资模型中提炼出的标准双二次优化模型,其最优性条件即为长方形张量变分不等式问题的一个特殊形式。长方形张量变分不等式问题解的存在性研究难度更大,一是由于长方形张量自身结构的复杂性,二是由于长方形张量变分不等式问题中出现两个独立的待求决策向量。通过查阅文献,发现目前关于长方形张量变分不等式问题的相关文献较少。长方形张量变分不等式问题解得存在性、唯一性等拓扑性质亟待挖掘,所以本文对一类长方形张量变分不等式问题的相关性质进行了理论分析。本文的结构如下:首先简单介绍了变分不等式问题和张量变分不等式问题的发展情况。其次,介绍了例外簇的相关知识,并分别总结了方形张量的特征值和长方形张量的奇异值的相关概念和性质。再次,介绍了方形张量变分不等式的解的拓扑性质,重点给出了一类长方形张量变分不等式问题解集的非空紧性,这是本文的主要内容。最后,给出一种新的正交阵定义,得到了有关方形张量的正交相似性的一些相关性质和结论。