利用不完备的投影数据或较少的信号数据重建出满足医疗诊断要求的医学图像具有重大的理论研究和临床应用价值.一般情况下,基于少量数据的医学图像重建问题属于不适定的数学反问题,直接重建可以加速成像但图像质量远远达不到诊断要求.最近,基于压缩感知的理论表明,通过稀疏优化和变分等数学工具对部分数据的医学重建问题建立优化模型以及提出相应的高效算法,不但可以提高仪器系统的成像速度,而且能重建出质量较高的图像.因此,研究欠采样医学图像重建的数学模型以及快速优化方法对提高整个仪器系统的成像速度和质量是非常有意义的.　　本文基于全变分的对偶公式和共轭函数的定义,把医学成像中的变分正则化模型转化为凸优化中的鞍点问题,并提出一些有效的原始-对偶优化算法.具体如下:　　第一,针对全变分最小化问题,提出了一个简单的原始-对偶方法.在新算法中,关于对偶子问题的求解,应用了预估矫正方案.进一步,分别从凸分析和邻近点角度,给出了一个隐式和显示算法,证明了算法的收敛性.另外,迭代方案在遍历情形下,有O(1/N)的收敛速率,其中N表示迭代次数.图像去模糊和计算机断层成像的数值试验说明了新算法的有效性.　　第二,拓展上述提到的算法求解含有核范数和全变分两项正则化的变分优化问题.利用次梯度的性质,可相似的证明新算法的收敛性.和上章的方法类似,对偶变量使用预估-矫正步,且有O(1/N)的收敛速率.新算法在张量补全、并行磁共振成像及动态磁共振成像等数值实验上表现良好.　　第三,提出一个求解目标函数为三个凸函数之和的原始-对偶算法,其中目标函数含有梯度函数Lipschtiz连续的光滑函数、含有算子的复合函数及非光滑函数.算法是对称的且全可分,仅涉及梯度下降、算子转置和有闭形式解的邻近算子.新算法是前两章算法的广义形式,故前两章的方法可以看作是本章算法的特殊形式.证明了算法的收敛性及遍历情形下的收敛速率.计算机断层成像的数值实验表明了新算法的有效性.和其它原始-对偶方法相比,有着几乎相同的计算量.　　第四,提出一个已知鞍点结构凸优化问题的原始-对偶预估矫正算法框架.在一致算法框架内,子问题求解使用带有矩阵范数的邻近项.进一步,不同的邻近参数可以推导出已经存在的著名方法,亦能产生一些新的原始-对偶方案.利用邻近点型收缩方法和变分不等式途径证明了算法的收敛性.此外,分析了算法在遍历情形和非遍历情形下的收敛速率.比较了不同算法在并行磁共振成像上的数值表现.　　最后,提出一个新颖的原始-对偶乘子法.算法结合不同的对偶变量,给出一个新的研究思路.在算法中,选取不同的临近参数可导出隐式和显示的算法,故能够灵活处理不同的图像问题.在显示算法中,每步迭代不需要子问题求解,能有效避免大规模矩阵求逆,加快了成像速度.算法的收敛性和收敛速率可以容易的从邻近点算法框架下得到.图像去模糊和并行磁共振成像的数值结果验证了新算法的优越性.