论文部分内容阅读
本文讨论了若干线性与非线性方程组及一类连续Sylvester方程的基于Hermitian和反Hermitian分裂的迭代方法与加速技巧.我们考虑的问题有：复对称线性方程组,非Hermitian半正定线性鞍点系统,具有正定Jacobian矩阵的非线性方程组以及一类连续Sylvester方程.这些问题在实际中被大量应用,研究这些问题的稳健和有效的数值方法具有重要意义.全文共分五章：第一章,介绍了迭代法求解线性与非线性系统的研究背景、研究进展,以及本文研究的问题及主要工作.第二章,基于预处理修正Hermitian和反Hermitian分裂(PMHSS)迭代法,我们引入一种偏向一侧的PMHSS (LPMHSS)迭代法求解一类复对称线性方程组.收敛性分析表明对于任意初始估计和参数a的一个很宽广的限制区域,由LPMHSS法产生的迭代序列都收敛到复线性方程组的唯一解.同时,我们得到LPMHSS法迭代矩阵谱半径的一个上界,并给出了使上界达到最小的拟最优参数α*.理论结论和数值结果都表明,当系数矩阵的实部占优时,LPMHSS法表现优于MHSS和PMHSS法.第三章,基于预处理Hermitian和反Hermitian分裂(PHSS)迭代技术,我们提出一种参数化PHSS (PPHSS)迭代法求解非Hermitian半正定线性鞍点系统PPHSS法实质上是PHSS法的双参数加速迭代格式,它推广了PHSS法并且优化了迭代过程.当迭代参数满足适当的条件时,由PPHSS法产生的迭代序列被证明都收敛到鞍点系统的唯一解.另外,对于PPHSS迭代法的一种特殊情形,我们推导出最优迭代参数和相应的最优收敛因子.数值实验揭示了PPHSS法作为求解器和Krylov子空间迭代法的预处理子时的有效性和稳健性.第四章,分别将广义Hermitian和反Hermitian分裂(GHSS)与广义正定和反Hermitian分裂(GPSS)迭代法作为不精确Newton法的内迭代求解器,构造了用于求解大型稀疏且具有非Hermitian正定Jacobi矩阵的非线性方程组的不精确Newton-GHSS与Newton-GPSS法,并在适当的条件下对两种方法的局部收敛性和半局部收敛性进行了分析.另外,我们提出了一种加速Newton-GPSS法并分析了它的收敛行为.数值结果表明三种新方法在迭代步数和CPU时间两方面表现都明显优于Newton-HSS法.第五章,基于Hermitian和反Hermitian分裂(HSS)迭代技术,我们提出一种四参数的HSS (FPHSS)迭代法求解系数矩阵为非Hermitian正定／半正定的大型稀疏连续Sylvester方程.FPHSS法实质上是前面HSS法的四参数加速迭代格式,它推广了HSS法并且优化了迭代过程.我们给出一个保证FPHSS法收敛的参数的精确取值区域,同时推导山使得迭代矩阵的谱上界达到最小值的最优迭代参数.另外,为了降低计算消耗,我们建立了一种不精确FPHSS (IFPHSS)迭代法并且分析了它的收敛性.数值结果展现了FPHSS法及其不精确变体法的有效性和稳健性.