幂与指数函数是高中数学课程中的重要概念,与对数、对数函数等有密切联系,对高等数学的学习也起到帮助作用。国内外的中学数学课程标准都对幂与指数函数的学习作出了明确的规定和要求。幂与指数函数作为高考必考内容之一,在实际生活中也有广泛应用。有关学生对幂与指数函数的理解的实证研究,国内文献中并不多见。本文基于APOS理论来描述和分析学生对幂与指数函数的理解水平,并探究学生对指数增长的直观估计情况。具体研究以下几个问题：(1)高中生对幂的理解障碍主要在什么方面?高中生对幂的理解水平分类是如何的?对应的表现怎样?与国外类似的研究结果对比有无差异?(2)高中生对指数函数概念的理解水平如何?对应的表现是怎样的?与国外类似的研究结果对比有无差异?(3)不同年龄段的中学生对指数型增长的直观估计模式是怎样的?与国外类似的研究结果对比有无差异?是否有历史相似性?论文通过对江苏省盐城市一所国家级重点中学三个不同年级总共307名学生的问卷测试,借助潜在类别分析软件LatentGold进行数据的处理。结合定性分析,最后得到以下几个结论：(1)高中生对幂的掌握程度良好。错误率最高,难度最突出的是负整数指数幂。在潜在类别分析下,高中生对幂的理解水平可划分为两类,两类水平组分别达到操作水平和对象水平。操作水平组的学生在对原型进行扩展时会感到更加困难,特别是面对负整数指数幂和分数指数幂的情况。与国外类似研究的结果相比,国内学生对幂的理解程度要略高,尤其在分数指数幂这一块。(2)高中生理解指数函数概念的表征过于单一,倾向于记忆一些规则或性质。在潜在类别分析下,高中生对指数函数的理解也可划分为两个水平,分别达到操作水平和过程水平。过程水平组的学生将指数函数理解为取幂的过程,并能推理出函数性质。与国外类似研究的结果相比,国外学生对指数函数的理解水平更加有限,只到达操作水平。(3)中学生对幂大小的估计远远低于标准值。三个年龄段的学生对幂的数值大小估计存在不同的模式,分别具有不同的特征,这与国外类似研究的结果一致。同时也具有一定程度的历史相似性。通过以上结论,笔者提出一些教学建议：(1)教学中避免过分强调“正数反复乘”这一幂的原型,对幂的原型可以加以扩展。(2)丰富学生认知指数函数的表征,让学生内化函数性质而不是机械地记忆。(3)尽可能让学生熟悉指数增长或衰减的过程,提高学生的估计水平。