本学位论文主要考虑了两方面的问题:一类着重于研究有限域上的置换多项式,其在密码学、编码理论和组合设计理论中有广泛应用;另一类着重于考虑数据存储中的局部可修复码,其在当前大数据环境下的分布式存储中有重要应用。本学位论文从组合数学的观点出发,融汇应用了有限域、代数数论等相关工具,对这些问题进行了一定的思考与推进。在第1章绪论部分,我们将简要介绍本文所涉及问题的背景来源,并概述本文对此问题所做的主要贡献。在第2章中,我们的研究对象为有限域上的置换多项式。通过区分平方元和非平方元的方法解决了Wu等人提出的两类具有Niho指数的三项置换多项式的猜想;通过多变元方法研究特殊方程解的数目,进而构造了两类三项置换多项式,并将Kyureghyan等人给出的两个例子推广成无穷类。在第3章中,我们主要考虑了完全置换多项式和低差分度的置换多项式。我们的工作是构造了四类单项完全置换多项式和一类三项完全置换多项式,其中第一类完全置换多项式解决了由Wu等人提出的一个猜想;研究了一类幂函数(置换单项式)的差分性质,对Blondeau等人提出的8-差分函数的猜想做出了一定的推进工作。在第4章中,我们的研究对象是分布式存储中的局部可修复码。我们主要关注二元局部可修复码的维数上界以及具体的构造。首先,我们基于经典编码理论中的Johnson界得到了这类二元局部可修复码的一个维数上界,然后借助一类特殊的组合结构partial spread和弱无关集,得到了若干最优二元局部可修复码。在第5章中对本人博士期间其它研究问题:追踪码、再生码、极大可修复码,做了简要概述。