【摘 要】
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非线性演化方程在数学、物理学、化学、流体力学、振动力学、天体力学、生物学、生态学和财政金融等自然科学和社会科学领域有着广泛的应用.一大批数学和其他领域科学工作者
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非线性演化方程在数学、物理学、化学、流体力学、振动力学、天体力学、生物学、生态学和财政金融等自然科学和社会科学领域有着广泛的应用.一大批数学和其他领域科学工作者长期以来致力于非线性演化方程的研究,在获得了丰硕成果的基础上不断推进非线性问题的持续发展,为人类社会的生产、生活和科学研究提供了具有重要指导意义和应用价值的结果.本文应用经典的李对称分析方法,研究两类非线性演化方程的解析解和守恒律问题.李对称分析方法是求解非线性偏微分方程和计算方程守恒律的重要理论之一,本文首先介绍了该方法的产生背景和基础理论,给出了论文后续研究过程中用到的一系列关键定理和公式.本文第二部分重点研究Qiao方程,用李对称分析求出了Qiao方程的无穷小生成子,选择无穷小生成子的两种线性组合对原方程进行对称约化,获得了对应的约化方程,并求出了群不变解.在群不变解的基础上,通过采用一种新的构造方式,获得了一批原方程的非群不变解,并通过数值模拟画图对比了群不变解和非群不变解的区别.论文根据特殊的对称,还求了方程的迭代解.最后对应于每个生成子求出了Qiao方程的非局部守恒律公式.本文第三部分研究了Gardner-KP方程.基于李对称分析,首先求出了方程的部分群不变解和迭代解.由于方程有三个独立变量,一次对称约化的方程仍然是偏微分形式,求解较为困难,为此对约化方程再次利用对称分析将方程化为各种形式的常微分方程,并采用幂级数方法,求出常微分方程的幂级数解且证明了解的收敛性,从而获得了一批原方程的幂级数解.对应于第一次约化的每个生成子,本章还求出了相应的非局部守恒律公式.论文最后对研究方法、过程和研究结果进行了必要的总结,并提出了下一步研究工作的目标和方向.
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